Eine reellwertige Funktion auf einem Vektorraum, die jedem Element eine nichtnegative Größe zuordnet und positive Definitheit (nur der Nullvektor hat Norm null), absolute Homogenität (Skalierung durch Skalare) und die Dreiecksungleichung (Subadditivität) erfüllt.

Prinzip

Eine Norm misst Magnitude in einer Weise, die mit den Vektorraumoperationen verträglich ist, und induziert eine Metrik d(x,y)=||x-y||; Normen können durch ein Skalarprodukt induziert sein oder allgemein definiert werden (p-Normen, Supremumsnorm, Operatornormen) und bestimmen Topologie sowie Konvergenzbegriffe.

Demonstration

Typische Beispiele sind die euklidische Norm ||x||_2 = (Σ x_i^2)^{1/2} auf R^n, die p-Norm ||f||_p = (∫|f|^p)^{1/p} in Funktionenräumen, die Supremumsnorm ||f||_∞ = sup |f| und Operatornormen, die als Supremum über Einheitsvektoren definiert sind.

Fehlanwendung

Eine Seminorm (die auf nichtverschwindenden Vektoren null sein kann) oder eine nicht-subadditive Funktion fälschlich als Norm zu verwenden oder in unendlichdimensionalen Räumen die Äquivalenz von Normen ohne Begründung anzunehmen, sind typische Fehlanwendungen; ebenso ist die Annahme, zu jeder Norm existiere ein induzierendes Skalarprodukt, falsch.

Konsequenz

Eine Norm induziert eine Metrik, eine Topologie sowie Begriffe von Stetigkeit, Beschränktheit und Vollständigkeit; in endlichdimensionalen Räumen sind alle Normen äquivalent (gleiche Topologie), während in unendlichdimensionalen Räumen die Wahl der Norm Kompaktheit, Konvergenz und funktionalanalytische Eigenschaften beeinflusst.

Umkehrung

Eine Umkehr wäre ein Pseudometrik- oder Seminormbegriff, der eine der definierenden Axiome abschwächt (z. B. einen nichttrivialen Kern erlaubt oder die Dreiecksungleichung verletzt), was die induzierte Topologie und die algebraischen Konsequenzen drastisch verändert.

Abgrenzung

Normen sind auf Vektorräumen über R oder C und in funktionalanalytischen Kontexten auf Moduln definiert; sie sind keine beliebigen Mengenfunktionen und erfordern lineare Struktur. Viele Funktionalnormen sind nur Seminormen, bis man auf Äquivalenzklassen (modulo Nullmengen) übergeht.

Semantische Spannung

Es besteht Spannung zwischen „Norm“ und „Metrik“, weil jede Norm eine Metrik induziert, aber nicht jede Metrik aus einer Norm stammt; ebenso besteht Spannung zwischen „Norm“ und „Seminorm“ in Situationen, in denen Entartung eine Rolle spielt.

Synthese

Eine Norm ist eine skalierungs-kompatible, subadditive Größendefinition auf einem Vektorraum, die metrische und topologische Struktur erzeugt; sie bildet die Grundlage für Länge, Abstand und Konvergenzbegriffe, mit Äquivalenz in endlichen Dimensionen und Sensitivität der Wahl in unendlichen Dimensionen.