Función de valor real en un espacio vectorial que asigna un tamaño no negativo a cada elemento y satisface positividad definida (cero solo en el vector cero), homogeneidad absoluta (escalado por escalares) y la desigualdad triangular (subaditividad).

Principio

Una norma mide la magnitud de forma compatible con las operaciones vectoriales e induce una métrica d(x,y)=||x-y||; las normas pueden ser inducidas por un producto interior o definirse más generalmente (normas p, norma suprema, normas de operador) y determinan topología y nociones de convergencia.

Demostración

Ejemplos comunes incluyen la norma euclidiana ||x||_2 = (Σ x_i^2)^{1/2} en R^n, la norma p ||f||_p = (∫|f|^p)^{1/p} en espacios de funciones, la norma suprema ||f||_∞ = sup |f| y normas de operador definidas por supremos sobre vectores unitarios.

Aplicación incorrecta

Usar una seminorma (que puede anularse en vectores no nulos) o una función no subaditiva como si fuera una norma, o asumir la equivalencia de normas en espacios de dimensión infinita sin justificación, son usos incorrectos; también es incorrecto asumir que toda norma proviene de un producto interior.

Consecuencia

Una norma induce una métrica, una topología y nociones de continuidad, acotación y completitud; en espacios de dimensión finita todas las normas son equivalentes (misma topología), mientras que en contextos de dimensión infinita la elección de la norma afecta compacidad, convergencia y propiedades funcional-analíticas.

Inversión

La inversión sería un pseudométrico o una seminorma que relaja uno de los axiomas definitorios (por ejemplo permitiendo núcleo no trivial o violando la desigualdad triangular), lo que cambia drásticamente la topología inducida y las consecuencias algebraicas.

Límite

Las normas se definen en espacios vectoriales sobre R o C y en módulos en contextos de análisis funcional; no son funciones arbitrarias sobre conjuntos y requieren estructura lineal. Muchas normas de espacios de funciones son solo seminormas hasta que se pasan a clases de equivalencia (modulo conjuntos nulos).

Tensión semántica

Hay tensión entre 'norma' y 'métrica' porque toda norma induce una métrica pero no toda métrica proviene de una norma; también existe tensión entre 'norma' y 'seminorma' en contextos donde la degeneración importa.

Síntesis

Una norma es una función de tamaño compatible con la escala y subaditiva en un espacio vectorial que induce estructura métrica y topológica; sustenta conceptos de longitud, distancia y convergencia, con equivalencia en dimensión finita y sensibilidad a la elección en dimensión infinita.