Propriété d'une formulation discrète ou approchée selon laquelle sa formulation locale reproduit les relations régissant le problème exact (souvent continu) dans la limite du raffinement idéal ; s'exprime classiquement par l'annulation de l'erreur locale de troncature lorsque la taille du maillage ou du pas tend vers zéro.

Principe

Une méthode est consistante si la différence entre l'opérateur discret et l'opérateur continu appliqué à des fonctions suffisamment lisses tend vers zéro sous raffinement idéal ; la consistance est une condition nécessaire à la convergence mais n'est pas suffisante sans stabilité.

Démonstration

Une approximation en différences finies de la dérivée première utilisant un schéma centré à trois points : l'expansion de Taylor montre que l'erreur de troncature est O(h^2), qui tend vers zéro quand l'espacement h→0, démontrant la consistance de la discrétisation.

Mauvaise application

Supposer que démontrer la consistance suffit à garantir que les solutions numériques convergent vers la solution exacte sur un maillage donné ; négliger la nécessité de vérifier la stabilité ou de tenir compte des erreurs d'approximation aux frontières.

Conséquence

Une discrétisation consistante garantit que, si le schéma est stable, la solution numérique peut converger vers la solution exacte lorsque le paramètre de raffinement tend vers sa limite ; elle légitime donc le raffinement pour atteindre l'exactitude.

Inversion

Inconsistance : les équations discrètes n'approximant pas les relations continues à la limite de raffinement, des discrétisations arbitrairement fines peuvent conserver un biais fini et empêcher la convergence vers la solution exacte.

Limite

S'applique aux discrétisations formelles et formulations approximées dérivées d'équations exactes ; ne quantifie pas le taux de convergence ni ne garantit la stabilité, et les notions classiques de consistance supposent la régularité suffisante de la solution cible.

Tension sémantique

La consistance est parfois confondue avec la convergence ou la stabilité ; contrairement à la convergence (un résultat asymptotique) ou à la stabilité (la réponse aux perturbations), la consistance concerne la compatibilité algébrique des opérateurs sous raffinement.

Synthèse

La consistance est la compatibilité algébrique entre formulations discrètes et exactes dans la limite de raffinement ; c'est le prérequis structurel qui, conjugué à la stabilité, permet la convergence et finalement des approximations exactes.