Eigenschaft einer diskreten oder approximativen Formulierung, dass ihre lokale Formulierung die herrschenden Beziehungen des exakten (oft kontinuierlichen) Problems im Grenzfall idealer Verfeinerung reproduziert; üblicherweise ausgedrückt dadurch, dass der lokale Trunkierungsfehler gegen null geht, wenn Gitter- oder Schrittweite gegen null strebt.

Prinzip

Eine Methode ist konsistent, wenn die Differenz zwischen diskretem Operator und kontinuierlichem Operator, angewandt auf hinreichend glatte Funktionen, unter idealer Verfeinerung verschwindet; Konsistenz ist notwendig für Konvergenz, jedoch ohne Stabilität nicht hinreichend.

Demonstration

Eine Finite-Differenzen-Approximation der ersten Ableitung mit einem zentrierten Drei-Punkte-Schema: Durch Taylor-Entwicklung zeigt sich ein Trunkierungsfehler von O(h^2), der bei h→0 verschwindet und so die Konsistenz der Diskretisierung demonstriert.

Fehlanwendung

Anzunehmen, dass die alleinige Nachweisung von Konsistenz garantiert, dass numerische Lösungen auf einem gegebenen Gitter konvergieren; die Notwendigkeit, Stabilität zu prüfen oder Randapproximationen zu berücksichtigen, zu übersehen.

Konsequenz

Eine konsistente Diskretisierung stellt sicher, dass bei stabilen Verfahren die numerische Lösung dem exakten Ergebnis mit Verfeinerung näherkommt; sie legitimiert somit Verfeinerung als Weg zur Genauigkeit.

Umkehrung

Inkonsistenz: Die diskreten Gleichungen nähern die kontinuierlichen Beziehungen nicht im Verfeinerungslimit an, sodass selbst beliebig feine Diskretisierungen einen endlichen Bias behalten und Konvergenz zur exakten Lösung verhindern können.

Abgrenzung

Gilt für formale Diskretisierungen und approximative Formulierungen, die aus exakten Gleichungen abgeleitet sind; sagt nichts über Konvergenzrate oder Stabilität aus, und klassische Konsistenzannahmen setzen hinreichende Glattheit der Zielösung voraus.

Semantische Spannung

Konsistenz wird manchmal mit Konvergenz oder Stabilität verwechselt; im Gegensatz zur Konvergenz (eine asymptotische Aussage) oder Stabilität (Reaktion auf Störungen) betrifft Konsistenz die algebraische Übereinstimmung von Operatoren unter Verfeinerung.

Synthese

Konsistenz ist die algebraische Verträglichkeit zwischen diskreten und exakten Formulierungen im Verfeinerungslimit; sie ist die strukturelle Voraussetzung, die zusammen mit Stabilität Konvergenz und damit genaue Approximationen ermöglicht.