Propiedad de una formulación discreta o aproximada según la cual su formulación local reproduce las relaciones que rigen el problema exacto (a menudo continuo) en el límite de refinamiento ideal; se expresa comúnmente como que el error local de truncamiento tiende a cero cuando el tamaño de malla o el paso tiende a cero.

Principio

Un método es consistente si la diferencia entre el operador discreto y el operador continuo aplicado a funciones suficientemente suaves se anula bajo refinamiento ideal; la consistencia es necesaria para la convergencia pero no suficiente sin estabilidad.

Demostración

Una aproximación por diferencias finitas de la derivada primera usando un estencil centrado de tres puntos: la expansión de Taylor muestra que el error de truncamiento es O(h^2), que tiende a cero cuando el espaciamiento h→0, demostrando la consistencia de la discretización.

Aplicación incorrecta

Suponer que demostrar la consistencia por sí sola garantiza que las soluciones numéricas converjan a la solución correcta en una malla dada; pasar por alto la necesidad de verificar la estabilidad o considerar los errores en la aproximación de condiciones de frontera.

Consecuencia

Una discretización consistente asegura que, siempre que el esquema sea estable, la solución numérica pueda converger a la solución verdadera al llevar el parámetro de refinamiento a su límite; legitima por tanto el refinamiento para alcanzar exactitud.

Inversión

Inconsistencia: las ecuaciones discretas no aproximan las relaciones continuas en el límite de refinamiento, por lo que incluso discretizaciones arbitrariamente finas pueden mantener un sesgo finito e impedir la convergencia a la solución exacta.

Límite

Se aplica a discretizaciones formales y formulaciones aproximadas derivadas de ecuaciones exactas; no cuantifica la tasa de convergencia ni garantiza la estabilidad y las nociones clásicas de consistencia asumen la suavidad suficiente de la solución objetivo.

Tensión semántica

La consistencia se confunde a veces con convergencia o estabilidad; a diferencia de la convergencia (una afirmación asintótica) o la estabilidad (respuesta a perturbaciones), la consistencia trata la compatibilidad algebraica de los operadores bajo refinamiento.

Síntesis

La consistencia es la compatibilidad algebraica entre formulaciones discretas y exactas en el límite de refinamiento; es el requisito estructural que, junto con la estabilidad, permite la convergencia y, en última instancia, aproximaciones precisas.