Un ensemble (ou faisceau, schéma, etc.) muni d'une action simplement transitive d'un groupe G : l'action de G est libre et transitive mais il n'existe pas de point identité distingué, si bien que le torseur est un « espace principal homogène » qui devient isomorphe à G une fois un point de référence choisi.

Principe

Un torseur sous un groupe G a localement (pour une topologie choisie) la structure de G mais peut être globalement non trivial ; les torseurs sur une base sont classifiés par H^1 de la base à coefficients dans G (Čech ou cohomologie des faisceaux), et le torsionnement par torseurs produit des formes non triviales d'objets.

Démonstration

Un espace vectoriel non nul V sur un corps k est un torseur sous GL(V) dès qu'un point est fixé ; plus géométriquement, un fibré principal à groupe structural G trivial localement pour la topologie étale (ou de Zariski) est un G-torseur, et les fibrés en droites sont des torseurs sous G_m.

Mauvaise application

Considérer un torseur comme un groupe en supposant l'existence d'un élément identité canonique ou composer des éléments du torseur sans référence à l'action du groupe ; confondre les classes de cohomologie de torseurs avec la cohomologie ordinaire du groupe sans l'interprétation correcte des coefficients.

Conséquence

Les torseurs codent les données d'obstruction et de torsion : ils classifient les formes, paramètrent les fibrés principaux et traduisent entre objets géométriques et classes de cohomologie, fournissant une incarnation concrète du recollement et de la descente non triviaux.

Inversion

La réciproque voit les groupes comme des torseurs munis d'un point distingué : équiper un torseur d'un point de base permet de retrouver la structure de groupe ; inversement, oublier l'identité d'un groupe donne un torseur — la différence est un choix d'origine.

Limite

Nécessite un groupe agissant spécifié et une action simplement transitive ; les objets avec actions non transitive ou non libres sont exclus, et la théorie des torseurs suppose en général une topologie pour la trivialité locale (Zariski, étale, analytique) selon le contexte.

Tension sémantique

Tension entre torseurs, fibrés principaux et gerbes : les torseurs correspondent à des cocycles de degré 0 classifiés par H^1, tandis que les gerbes et torseurs supérieurs vivent dans des cohomologies supérieures ; il faut aussi distinguer les bitorseurs (actions bilatères) des torseurs ordinaires.

Synthèse

Un torseur est un objet en forme de groupe sans origine choisie : localement identique au groupe d'action mais globalement possiblement tordu, il représente géométriquement une classe de cohomologie de degré un qui encode la descente, les formes et les données de fibrés principaux.