Un conjunto (o haz, esquema, etc.) con una acción simplemente transitiva de un grupo G: la acción es libre y transitiva pero no existe un punto identidad distinguido, de modo que el torsor es un 'espacio homogéneo principal' que se vuelve isomorfo a G una vez que se elige un punto base.

Principio

Un torsor bajo un grupo G tiene localmente (para una topología dada) la estructura de G pero puede ser globalmente no trivial; los torsores sobre una base se clasifican por H^1 de la base con coeficientes en G (Čech o cohomología de haces), y torcer por torsores produce formas no triviales de objetos.

Demostración

Un espacio vectorial no nulo V sobre un campo k es un torsor bajo GL(V) una vez que se fija un punto; más geométricamente, un fibrado principal con grupo estructural G que es localmente trivial en la topología étale (o de Zariski) es un G‑torsor, y los fibrados en líneas son torsores bajo G_m.

Aplicación incorrecta

Tratar un torsor como un grupo asumiendo la existencia de una identidad canónica o componer elementos del torsor sin referencia a la acción del grupo; confundir clases de cohomología de torsores con cohomología de grupo ordinaria sin la interpretación correcta de coeficientes.

Consecuencia

Los torsores codifican datos de obstrucción y torsión: clasifican formas, parametrizan fibrados principales y traducen entre objetos geométricos y clases de cohomología, proporcionando una encarnación concreta del pegado y la descendencia no triviales.

Inversión

La inversión ve los grupos como torsores con punto distinguido: dotar a un torsor de un punto base recupera la estructura de grupo; a la inversa, olvidar la identidad de un grupo produce un torsor —la diferencia es la elección del origen.

Límite

Requiere un grupo actuante especificado y una acción simplemente transitiva; quedan excluidos objetos con acciones no transitivas o no libres, y la teoría de torsores suele suponer una topología para la trivialidad local (Zariski, étale, analítica) según el contexto.

Tensión semántica

Tensión entre torsores, fibrados principales y gérberas: los torsores son cociclos de grado 0 clasificados por H^1, mientras que las gérberas y torsores de orden superior viven en cohomologías superiores; también hay que distinguir bitorsores (acciones a ambos lados) de torsores ordinarios.

Síntesis

Un torsor es un objeto con forma de grupo sin un origen elegido: localmente idéntico al grupo actuante pero globalmente posiblemente torcido, y la representación geométrica básica de una clase en H^1 que codifica descendencia, formas y datos de fibrados principales.