Une correspondance qui relie les systèmes holonomes réguliers d'équations différentielles linéaires (ou D-modules holonomes réguliers, c'est-à-dire connexions linéaires à singularités régulières) sur variétés complexes aux représentations du groupe fondamental (systèmes locaux), mettant en regard données analytiques de solutions et données topologiques de monodromie.

Principe

L'idée organisatrice est que la continuation analytique des solutions locales autour des singularités produit des représentations de monodromie ; le foncteur des solutions envoie un D-module holonome régulier sur un faisceau localement constant (ou un faisceau pervers) dont les fibres portent la représentation du groupe fondamental, et cette application est une équivalence dans la catégorie holonome régulière.

Démonstration

Considérer une équation différentielle linéaire sur le plan complexe percé à singularités régulières ; la continuation analytique d'une base de solutions locales autour du point singulier fournit une représentation de π1, et la correspondance associe au système différentiel le système local de monodromie obtenu.

Mauvaise application

Appliquer la correspondance à des systèmes à singularités irrégulières ou à des modules non holonomes ; dans ces cas des données supplémentaires (phénomènes de Stokes) sont nécessaires et l'équivalence naïve entre D-modules et systèmes locaux échoue.

Conséquence

On peut classer les équations différentielles linéaires régulières par leurs représentations de monodromie et transférer des problèmes entre équations différentielles analytiques et descriptions topologiques ou représentationnelles, permettant l'utilisation de méthodes algébriques et catégoriques pour étudier les solutions.

Inversion

La direction inverse construit un système différentiel (à équivalence près) à partir d'une représentation donnée du groupe fondamental en produisant une connexion plate ou un D-module dont les sections horizontales réalisent cette monodromie ; pour les cas réguliers ceci fournit une équivalence de catégories.

Limite

Nécessite l'hypothèse holonome régulière (singularités régulières, holonomicité) et se formule dans le cadre analytique complexe ou algébrique ; exclut les singularités irrégulières sauf si l'on enrichit la donnée par les structures de Stokes ou d'autres compléments.

Tension sémantique

Il existe une tension avec les théories des singularités irrégulières (phénomènes de Stokes) et avec les raffinements microlocaux ou dérivés (faisceaux pervers, Riemann–Hilbert dérivé), où la correspondance simple doit être enrichie ou remplacée.

Synthèse

La correspondance de Riemann-Hilbert unifie les perspectives analytique et topologique en affirmant que, pour les systèmes holonomes réguliers, la structure analytique des équations différentielles (solutions et continuation) et la structure topologique des systèmes locaux (représentations de monodromie) sont des descriptions équivalentes.