Eine Korrespondenz, die reguläre holonomische Systeme linearer Differentialgleichungen (bzw. reguläre holonomische D-Module, also lineare Zusammenhänge mit regulären Singularitäten) auf komplexen Mannigfaltigkeiten mit Darstellungen des Fundamentalgruppes (lokale Systeme) verknüpft und analytische Lösungsdaten mit topologischer Monodromie verbindet.

Prinzip

Die organisierende Idee ist, dass die analytische Fortsetzung lokaler Lösungen um Singularitäten Monodromiedarstellungen erzeugt; der Lösungsfunktor sendet ein reguläres holonomisches D-Modul auf ein lokal konstantes Garbenobjekt (oder perverses Garbenobjekt), dessen Halme die Darstellung der Fundamentalgruppe tragen, und diese Abbildung ist in der regulären holonomischen Kategorie eine Äquivalenz.

Demonstration

Betrachte eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung auf der punktierten komplexen Ebene mit regulären Singularitäten; die analytische Fortsetzung einer Basis lokaler Lösungen um die Spitze liefert eine Darstellung von π1, und die Korrespondenz ordnet dem Differentialsystem das entstehende Monodromie-Lokalsystem zu.

Fehlanwendung

Die Korrespondenz auf Systeme mit irregulären Singularitäten oder nicht-holonomische Module anzuwenden ist unangebracht; in solchen Fällen sind zusätzliche Daten (Stokes-Phänomene) nötig und die naive Äquivalenz zwischen D-Modulen und lokalen Systemen bricht zusammen.

Konsequenz

Reguläre lineare Gleichungen können nach ihren Monodromiedarstellungen klassifiziert werden, und Probleme lassen sich zwischen analytischer Differentialgleichungstheorie und topologischen bzw. darstellungstheoretischen Beschreibungen übertragen, was den Einsatz algebraischer und kategorialer Methoden ermöglicht.

Umkehrung

Die inverse Richtung konstruiert aus einer gegebenen Darstellung der Fundamentalgruppe ein Differentialsystem (bis auf Äquivalenz) durch Erzeugung einer flachen Verbindung oder eines D-Moduls, dessen horizontalen Schnitte diese Monodromie realisieren; für reguläre Fälle ergibt dies eine Kategorienequivalenz.

Abgrenzung

Setzt reguläre Holonomizität (reguläre Singularitäten, Holonomizität) voraus und ist im komplex-analytischen oder algebraischen Rahmen formuliert; schließt irreguläre Singularitäten aus, sofern nicht Stokes-Daten oder andere Ergänzungen angegeben sind.

Semantische Spannung

Es besteht Spannung zu Theorien für irreguläre Singularitäten (Stokes-Phänomene) und zu mikrolokalen bzw. abgeleiteten Verfeinerungen (perverse Garben, abgeleitete Riemann–Hilbert), bei denen die einfache Eins-zu-eins-Korrespondenz angereichert oder ersetzt werden muss.

Synthese

Die Riemann-Hilbert-Korrespondenz vereinigt analytische und topologische Perspektiven, indem sie aussagt, dass für reguläre holonomische Systeme die analytische Struktur der Differentialgleichungen (Lösungen und Fortsetzung) und die topologische Struktur lokaler Systeme (Monodromiedarstellungen) äquivalente Beschreibungen sind.