Une correspondance de reconstruction qui reconstitue un groupe (pro-)algébrique (ou schéma en groupes) à partir de la catégorie tensorielle de ses représentations linéaires de dimension finie munie d'un foncteur fibre vers des espaces vectoriels ; inversement, la catégorie des représentations est l'invariant principal du groupe.

Principe

L'idée organisatrice est qu'une catégorie tensorielle neutre et rigide munie d'un foncteur tensoriel exact et fidèle vers les espaces vectoriels de dimension finie est équivalente à la catégorie des représentations du schéma en groupes affines des automorphismes tensoriels de ce foncteur ; le groupe se récupère comme foncteur des automorphismes du foncteur fibre.

Démonstration

Exemple concret : à partir de la catégorie des représentations de dimension finie de GLn sur un corps et du foncteur oubli, on reconstruit GLn comme le schéma en groupes affine dont les points agissent par automorphismes tensoriels naturels sur le foncteur ; de même on peut reconstituer des groupes galoisiens ou motiviques à partir de leurs catégories tannakiennes lorsque qu'un foncteur fibre existe.

Mauvaise application

Traiter une catégorie abélienne ou monoïdale quelconque comme si elle était tannakienne sans vérifier la rigidité, l'existence des duaux ou un foncteur fibre neutre ; tenter une reconstruction à partir de représentations de dimension infinie ou de catégories sans structure tensorielle compatible.

Conséquence

Lorsque la théorie s'applique, la dualité de Tannaka traduit des questions structurelles sur un groupe en questions catégorielles sur sa catégorie de représentations, permettant classification, comparaison et transfert de problèmes entre groupes algébriques et catégories tensorielles.

Inversion

Le point de vue inverse consiste à passer d'un groupe à sa catégorie de représentations (prendre Rep(G)) : plutôt que de reconstituer le groupe à partir de la catégorie, on étudie le groupe en construisant sa catégorie de représentations et ses invariants ; la dualité relie ces deux perspectives.

Limite

Nécessite une catégorie tensorielle rigide (souvent k-linéaire et abélienne) avec duaux et un foncteur fibre vers des espaces vectoriels de dimension finie (cas tannakien neutre) sur un corps satisfaisant des hypothèses adéquates ; exclut les catégories monoïdales non rigides, la plupart des catégories de représentations de dimension infinie et les contextes sans foncteur fibre exact et fidèle.

Tension sémantique

Le terme « dualité » suggère une équivalence parfaite à deux sens, mais la tension pratique porte sur la reconstruction catégorielle (récupération fonctorielle d'un groupe) et la multiplicité de structures catégorielles qui peuvent ne pas déterminer un groupe unique sans données supplémentaires comme le foncteur fibre choisi.

Synthèse

La Dualité de Tannaka affirme que, sous rigidité et choix d'un foncteur fibre, la structure tensorielle complète de la catégorie des représentations de dimension finie encode et permet de reconstruire le groupe (pro-)algébrique sous-jacent comme groupe des automorphismes tensoriels du foncteur fibre.