Un foncteur F : C → Set (ou C^op → Set) est représentable s'il est naturellement isomorphe au foncteur Hom_C(A,−) (ou Hom_C(−,A)) pour un certain objet A de C ; de façon équivalente, il existe un élément universel de F qui induit l'isomorphisme naturel et identifie F aux applications sortant de ou entrant dans A.

Principe

L'existence d'un élément universel (un point de F(A)) fournit une bijection naturelle entre Hom(A,X) et F(X) pour tout X, transformant un foncteur abstrait en une paramétrisation des morphismes depuis ou vers un objet fixé.

Démonstration

Dans la catégorie des R-modules, le foncteur Hom_R(R^n,−) est représentable et naturellement isomorphe au foncteur qui envoie M sur M^n ; concrètement, R^n représente les n‑uplets par les applications de R^n dans M.

Mauvaise application

Confondre représentabilité ponctuelle et représentabilité naturelle : disposer pour chaque objet X d'une bijection entre F(X) et Hom(A_X,X) ne fournit pas un objet représentant unique à moins que ces bijections soient naturelles en X et proviennent d'un même A.

Conséquence

Les foncteurs représentables sont maniables : ils préservent les limites (pour le covariant) et leurs propriétés se réduisent à celles de l'objet représentant ; ils apparaissent aussi via l'immersion de Yoneda comme images d'objets, offrant un contrôle concret sur les transformations naturelles.

Inversion

Les foncteurs non représentables — par exemple de nombreux problèmes de modules — ne se décrivent pas par un seul objet ; on obtient parfois une pro‑représentabilité ou des remplacements par des champs (stacks) qui affaiblissent la représentabilité stricte en limites ou classes d'équivalence.

Limite

La représentabilité concerne une isomorphie naturelle à un foncteur Hom et dépend de la catégorie ambiante et du codomaine Set ; des questions de taille, la variance (covariant vs contravariant) et l'exigence de naturalité excluent les identifications ponctuelles naïves.

Tension sémantique

Entre « il existe A qui représente F » et « F a des éléments en chaque objet » : la tension vient du fait que des descriptions point par point suggèrent la représentabilité mais échouent si aucun élément universel et naturalité ne rattachent les données à un unique objet représentant.

Synthèse

Un foncteur représentable montre qu'une assignation paramétrique abstraite est en réalité donnée par les applications depuis ou vers un seul objet A : l'existence d'un élément universel produit des bijections naturelles Hom(A,−) ≅ F(−), convertissant les données fonctorielles en familles de morphismes gouvernées par l'objet représentant.