Ein Funktor F: C → Set (oder C^op → Set) heißt darstellbar, wenn er natürlich isomorph zu einem Hom-Funktor Hom_C(A,−) (oder Hom_C(−,A)) für ein Objekt A ∈ C ist; äquivalent existiert ein universelles Element von F, das den natürlichen Isomorphismus induziert und F mit Abbildungen von oder zu A identifiziert.

Prinzip

Die Existenz eines universellen Elements (ein Punkt in F(A)) liefert für jedes X eine natürliche Bijektion Hom(A,X) ≅ F(X) und verwandelt einen abstrakten Funktor in eine Parametrisierung von Morphismen von oder nach einem festen Objekt.

Demonstration

In der Kategorie der R-Moduln ist der Funktor Hom_R(R^n,−) darstellbar und natürlich isomorph zum Funktor M ↦ M^n; anschaulich repräsentiert R^n n‑Tupel durch Abbildungen von R^n nach M.

Fehlanwendung

Punktweise Darstellbarkeit mit natürlicher Darstellbarkeit verwechseln: Für jedes Objekt X eine Bijektion zwischen F(X) und Hom(A_X,X) zu haben, liefert kein einheitliches darstellendes Objekt, sofern diese Bijektionen nicht natürlich in X sind und von einem einzigen A herrühren.

Konsequenz

Darstellbare Funktoren sind leicht zu handhaben: sie erhalten (bei Kovarianz) Limiten und ihre Eigenschaften lassen sich auf das darstellende Objekt zurückführen; sie erscheinen außerdem als Bild von Objekten unter der Yoneda-Einbettung und geben konkreten Zugriff auf natürliche Transformationen.

Umkehrung

Nicht-darstellbare Funktoren — etwa viele Modulprobleme — lassen sich nicht durch ein einzelnes Objekt beschreiben; stattdessen gibt es oft Prodarstellbarkeit oder 'stackartige' Ersatzobjekte, die strikte Darstellbarkeit durch Limiten oder Äquivalenzklassen abschwächen.

Abgrenzung

Darstellbarkeit bedeutet natürliches Isomorphsein zu einem Hom-Funktor und hängt von der umgebenden Kategorie und dem Ziel Set ab; Fragen der Größe, Varianz (kovariant vs kontrvariant) und die Forderung nach Naturalität schließen naive punktweise Identifikationen aus.

Semantische Spannung

Zwischen ‚es existiert A, das F darstellt‘ und ‚F hat an jedem Objekt Elemente‘: die Spannung besteht darin, dass punktweise Beschreibungen auf Darstellbarkeit hindeuten, aber scheitern, wenn kein universelles Element und keine Naturalität die Daten an ein einziges Objekt binden.

Synthese

Ein darstellbarer Funktor offenbart, dass eine abstrakte Parameterzuweisung tatsächlich durch Abbildungen von oder zu einem einzigen Objekt A parametrisiert wird: die Existenz eines universellen Elements erzeugt natürliche Bijektionen Hom(A,−) ≅ F(−) und wandelt funktorielle Daten in durch das darstellende Objekt gesteuerte Morphismenfamilien.