Un changement discontinu, par un entier, de l'indice de Fredholm d'une famille paramétrée d'opérateurs linéaires qui se produit lorsque le paramètre traverse des valeurs où l'ellipticité, les conditions aux limites ou la propriété de Fredholm se perdent.

Principe

L'indice de Fredholm est localement constant sur les régions de paramètres où les opérateurs restent de Fredholm ; lorsqu'une valeur du paramètre entraîne une perte d'ellipticité ou une dégénérescence des conditions aux limites, les dimensions du noyau et/ou du conoyau peuvent varier brusquement, produisant un saut d'indice égal au changement net de ces dimensions.

Démonstration

Considérer une famille d'opérateurs aux limites elliptiques L(t) sur une variété à bord dépendant lisse de t. Si pour t = t0 le symbole principal perd son inversibilité dans certaines directions cotangentes ou si une condition au bord dégénère, la dimension de ker L(t) ou de coker L(t) peut changer en t0 de sorte que Indice(L(t)) présente une discontinuité entière quand on traverse t0.

Mauvaise application

Assimiler tout croisement spectral d'une valeur propre à un saut d'indice ; des croisements spectraux dans le spectre continu ou des perturbations non-Fredholm ne changent pas nécessairement l'indice de Fredholm et peuvent être incorrectement qualifiés de saut d'indice.

Conséquence

Bien identifié, un saut d'indice signale une modification de la résolubilité : de part et d'autre du saut, la dimension des espaces de solutions et des espaces d'obstruction diffère de l'entier du saut, affectant l'existence, l'unicité des solutions et les conditions de compatibilité requises.

Inversion

La situation inverse est un indice continu : des familles contraintes à rester elliptiques et de Fredholm pour tous les paramètres, de sorte que l'indice est constant et aucun saut entier n'apparaît.

Limite

S'applique aux familles d'opérateurs qui sont de Fredholm sauf en des valeurs isolées du paramètre provoquées par une perte d'ellipticité ou une dégénérescence des conditions au bord. Exclut les changements dus uniquement au déplacement du spectre essentiel sans rupture de la propriété de Fredholm, et exclut les familles non-Fredholm où l'indice n'est pas défini.

Tension sémantique

On confond souvent saut d'indice et flux spectral : le flux spectral compte les croisements signés de valeurs propres à zéro pour des familles auto-adjointes, alors que le saut d'indice enregistre des changements entiers d'indice de Fredholm et peut se produire sans l'interprétation de flux spectral lorsque les opérateurs ne sont pas auto-adjoints ou lorsque les conditions au bord changent.

Synthèse

Un saut d'indice est le changement entier de l'indice de Fredholm d'une famille d'opérateurs paramétrée produit par des valeurs isolées du paramètre où l'ellipticité ou les conditions au bord dégénèrent ; il articule l'analyse locale du symbole/du bord avec le comptage des dimensions du noyau et du conoyau pour prévoir des changements brusques de la résolubilité.