Un cambio discontinuo por un entero en el índice de Fredholm de una familia parametrizada de operadores lineales que ocurre cuando el parámetro atraviesa valores donde la elipticidad, las condiciones de contorno o la propiedad de Fredholm se degeneran.

Principio

El índice de Fredholm es localmente constante en regiones de parámetro donde los operadores permanecen Fredholm; cuando un valor del parámetro provoca pérdida de elipticidad o degeneración de condiciones en el contorno, las dimensiones del núcleo y/o del cokernel pueden cambiar bruscamente, produciendo un salto de índice igual al cambio neto de esas dimensiones.

Demostración

Tomar una familia de operadores de valor en la frontera elípticos L(t) en una variedad con frontera que depende suavemente de t. Si en t = t0 el símbolo principal deja de ser invertible en algunas direcciones cotangenciales o una condición de frontera degenera, la dimensión de ker L(t) o coker L(t) puede modificar en t0 de modo que Indice(L(t)) presente una discontinuidad entera al cruzar t0.

Aplicación incorrecta

Confundir cualquier cruce espectral de un autovalor con un salto de índice; los cruces en el espectro continuo o las perturbaciones no-Fredholm no cambian necesariamente el índice de Fredholm y pueden ser erróneamente etiquetados como saltos de índice.

Consecuencia

Correctamente identificado, un salto de índice señala un cambio en la solucionabilidad: a ambos lados del salto, la dimensión de los espacios de soluciones y de obstrucción difiere por el entero del salto, afectando la existencia y unicidad de soluciones y las condiciones de compatibilidad necesarias.

Inversión

La situación inversa es un índice continuo: familias que permanecen elípticas y Fredholm para todos los parámetros, de modo que el índice es constante y no aparecen saltos enteros.

Límite

Se aplica a familias de operadores que son Fredholm salvo en valores aislados del parámetro causados por pérdida de elipticidad o degeneración de condiciones de frontera. Excluye cambios debidos únicamente al desplazamiento del espectro esencial sin fallo de Fredholm, y excluye familias no-Fredholm donde el índice no está definido.

Tensión semántica

A menudo se confunde salto de índice con flujo espectral: el flujo espectral cuenta los cruces con signo de autovalores por cero para familias auto-adjuntas, mientras que el salto de índice registra cambios enteros del índice de Fredholm y puede ocurrir sin la interpretación de flujo espectral cuando los operadores no son auto-adjuntos o cambian las condiciones en la frontera.

Síntesis

Un salto de índice es el cambio entero en el índice de Fredholm de una familia de operadores parametrizada causado por valores aislados del parámetro donde la elipticidad o las condiciones de contorno degeneran; combina el análisis local del símbolo/contorno con el recuento de dimensiones de núcleo y cokernel para predecir variaciones abruptas en la solucionabilidad.