Une classification de Weyl pour un point extrême d'une expression différentielle symétrique du second ordre où chaque solution locale est de carré intégrable près de l'extrémité ; dès lors des conditions aux limites supplémentaires en cet extrême sont nécessaires pour obtenir des extensions auto-adjointes.

Principe

Si toutes les solutions indépendantes appartiennent à L2 près d'un extrême, le défaut à cet extrême entraîne une famille d'extensions auto-adjointes paramétrées par des conditions aux limites ; l'extrémité est dite « cas cercle limite ».

Démonstration

Pour L[y] = -y'' + q(x)y sur (a,b), si lorsque x→b toute solution est dans L2(a,b), alors b est cas cercle limite ; un exemple classique est celui de certains potentiels singuliers où la régularité rend les deux solutions de carré intégrable.

Mauvaise application

Traiter un extrême en cas cercle limite comme cas limite en un point et omettre les données aux limites, ce qui conduit à des extensions auto-adjointes non uniques ou à une caractérisation spectrale incomplète.

Conséquence

Dans le cas cercle limite, il faut choisir des conditions aux limites en l'extrémité (un paramètre ou une forme) pour sélectionner une extension auto-adjointe ; les propriétés spectrales dépendent explicitement de ce choix.

Inversion

La situation inverse est le cas limite en un point, où au plus une solution L2 survient et aucun paramètre aux limites n'est nécessaire en cet extrême.

Limite

Pertinent pour les opérateurs différentiels symétriques du second ordre et la classification de leurs extrémités ; cela ne se généralise pas automatiquement aux cadres non symétriques sans une théorie des défauts comparable.

Tension sémantique

Peut être confondu avec un extrême régulier où les solutions sont de carré intégrable sans qu'il y ait singularité ; le cas cercle limite renvoie précisément à l'intégrabilité de l'espace des solutions locales en un extrême singulier.

Synthèse

Le cas cercle limite signale des extrémités qui imposent un choix de conditions : puisque toute solution locale est dans L2, il faut restreindre le domaine par des conditions aux limites explicites pour obtenir un opérateur auto-adjoint bien défini.