Una clasificación de Weyl en un extremo de una expresión diferencial simétrica de segundo orden en la que toda solución local es de cuadrado integrable cerca del extremo; por tanto se requieren condiciones de contorno adicionales en ese extremo para obtener extensiones autoadjuntas.

Principio

Si todas las soluciones locales independientes pertenecen a L2 cerca del extremo, el defecto en ese extremo genera una familia de extensiones autoadjuntas parametrizadas por condiciones de contorno; el extremo es 'caso de círculo límite'.

Demostración

Para L[y] = -y'' + q(x)y en (a,b), si cuando x→b toda solución está en L2(a,b) entonces b es caso de círculo límite; un ejemplo clásico son ciertos potenciales singulares que hacen que ambas soluciones sean cuadrado-integrables.

Aplicación incorrecta

Tratar un extremo en caso de círculo límite como caso de punto límite y omitir las condiciones de contorno necesarias, lo que da lugar a extensiones autoadjuntas no únicas o a una caracterización espectral incompleta.

Consecuencia

En el caso de círculo límite hay que elegir condiciones de contorno en el extremo (un parámetro o forma) para seleccionar una extensión autoadjunta; las propiedades espectrales dependen explícitamente de esa elección.

Inversión

La inversión es el caso de punto límite, en el que como máximo hay una solución L2 y no se necesita un parámetro de contorno en ese extremo.

Límite

Se aplica a operadores diferenciales simétricos de segundo orden y a la clasificación de sus extremos; no se generaliza automáticamente a contextos no simétricos sin una teoría de defectos análoga.

Tensión semántica

Puede confundirse con un extremo regular en el que las soluciones son cuadrado-integrables sin singularidad; el caso de círculo límite se refiere específicamente a la integrabilidad del espacio de soluciones locales en un extremo singular.

Síntesis

El caso de círculo límite marca extremos que obligan a elegir condiciones de contorno: como cada solución local está en L2, es necesario restringir el dominio mediante condiciones explícitas para obtener un operador autoadjunto bien definido.