Une classification (Weyl) pour un point extrême d'une expression différentielle symétrique du second ordre (type Sturm–Liouville) où au plus une solution est de carré intégrable près de cet extrême ; par conséquent, aucune condition aux limites supplémentaire n'est requise en cet extrême pour obtenir l'auto-adjointitude de l'opérateur associé.

Principe

Si l'espace des solutions près d'un extrême contient au plus une solution dans L2, les indices de défaut à cet extrême n'imposent pas de paramètre aux limites ; l'extrémité est dite « cas limite » (en un point) et l'auto-adjointitude se décide sans condition aux limites en ce point.

Démonstration

Pour L[y] = -y'' + q(x)y sur (a,b) avec q réel, si lorsque x→b seule une solution (à un facteur multiplicatif près) appartient à L2(a,b), alors b est un cas limite en un point ; par exemple, le laplacien libre sur la demi-droite (0,∞) est cas limite à l'infini.

Mauvaise application

Prétendre qu'un extrême est cas limite en omettant une condition aux limites alors que deux solutions indépendantes sont de carré intégrable ; cela produit un opérateur non auto-adjoint ou de données spectrales ambiguës.

Conséquence

Lorsque l'extrémité est cas limite en un point, le domaine de l'opérateur symétrique maximal conduit automatiquement à une unique extension auto-adjointe déterminée par des conditions intérieures ; aucun paramètre aux limites n'est nécessaire en cet extrême.

Inversion

La situation inverse est le cas cercle limite, où toutes les solutions locales sont de carré intégrable et une condition aux limites doit être imposée pour fixer une extension auto-adjointe.

Limite

S'applique aux extrémités d'expressions différentielles du second ordre symétriques (Sturm–Liouville) ; n'est pas une règle générale pour des opérateurs d'ordre supérieur, non symétriques ou non différentiels sans une classification analogue explicite.

Tension sémantique

Peut être confondu avec la notion topologique de point limite ; ici le sens est spectral/analytique et porte sur l'intégrabilité des solutions et la théorie des extensions auto-adjointes, non sur l'accumulation de points.

Synthèse

Le cas limite en un point repère les extrémités où le défaut d'intégrabilité suffit à éviter des données aux limites supplémentaires : l'auto-adjointitude est alors intrinsèque et la description du domaine et l'analyse spectrale s'en trouvent simplifiées.