Una clasificación (Weyl) para un extremo de una expresión diferencial simétrica de segundo orden (tipo Sturm–Liouville) en la que como mucho una solución es de cuadrado integrable cerca de dicho extremo; en consecuencia no se precisa una condición de contorno adicional en ese extremo para obtener la autoadjunta del operador asociado.

Principio

Si el espacio de soluciones cerca de un extremo contiene a lo sumo una solución en L2, los índices de defecto no imponen un parámetro de frontera en ese extremo; el extremo es 'caso de punto límite' y la autoadjunción se decide sin imponer condición en ese extremo.

Demostración

Considere L[y] = -y'' + q(x)y en (a,b) con q real. Si cuando x→b sólo una solución (hasta un escalar) pertenece a L2(a,b), entonces b es caso de punto límite; por ejemplo, el laplaciano libre en la semirrecta (0,∞) es límite en el infinito.

Aplicación incorrecta

Asumir que un extremo es caso de punto límite cuando existen dos soluciones cuadrado-integrables independientes y, por ello, omitir una condición necesaria de contorno; esto produce un operador que no es autoadjunto o con datos espectrales ambiguos.

Consecuencia

Cuando un extremo es caso de punto límite, el dominio del operador simétrico máximo produce automáticamente una única extensión autoadjunta determinada por condiciones interiores; no se necesita un parámetro de contorno en ese extremo.

Inversión

La situación inversa es el caso de círculo límite, donde todas las soluciones locales son cuadrado-integrables y es preciso imponer una condición de contorno para fijar una extensión autoadjunta.

Límite

Se aplica a extremos de expresiones diferenciales de segundo orden simétricas (Sturm–Liouville); no es un criterio general para operadores de orden superior, no simétricos o no diferenciales sin una clasificación análoga explícita.

Tensión semántica

A menudo se confunde con la noción topológica de punto límite; aquí el término es espectral/analítico y se refiere a integrabilidad de soluciones y teoría de extensiones autoadjuntas, no a acumulación de puntos de un conjunto.

Síntesis

El caso de punto límite identifica los extremos en los que el defecto de integrabilidad evita la necesidad de datos de contorno adicionales: la autoadjunción es entonces intrínseca y la descripción del dominio y el análisis espectral resultan más sencillos.