Une méthode proof-théorique qui associe à des théories formelles des ordinaux bien ordonnés ou des notations ordinales afin de mesurer leur force de consistance, leur complexité inductive/combinatoire et la puissance de leurs principes d'induction transfini.

Principe

Calibrer une théorie en exhibant un système de notations ordinales constructif dont la fonc‑tionnement en tant qu'ordre bien fondé la théorie ne peut pas (ou peut) prouver, et relier ainsi consistance et force d'induction à des bien-ordres démontrables et fonctions d'effondrement.

Démonstration

Montrer que l'arithmétique de Peano correspond à l'ordinal ε0 en construisant des notations ordinales jusqu'à ε0 et en prouvant que l'induction transfini le long de ces notations capture la force d'induction de la théorie.

Mauvaise application

Interpréter les ordinaux assignés comme des ordinaux théoriquement absolus sans référence au système de notations choisi, ou traiter les bornes ordinales comme des mesures ontologiques de taille plutôt que comme des calibrages proof-théoriques.

Conséquence

Fournit des preuves de consistance relatives, des résultats de conservation et des bornes explicites sur l'usage de l'induction ; établit une hiérarchie fine des théories par leurs ordinaux proof-théoriques.

Inversion

Au lieu d'utiliser les ordinaux pour mesurer des théories, inverser la perspective et demander quelles théories sont engendrées par certains bien-ordres ou principes ordinaux, ou s'appuyer principalement sur des comparaisons modèle-théoriques plutôt que sur des affectations ordinales.

Limite

S'applique aux théories récursivement axiomatisables, principalement aux fragments arithmétiques ou set-théoriques qui admettent des systèmes de notations ordinales ; elle n'est pas directement applicable aux mathématiques d'ordre supérieur arbitraire ou aux pratiques informelles sans encodage formel.

Tension sémantique

Tension entre les mesures de force basées sur les ordinaux et d'autres mesures comme l'interprétabilité, la complexité en théorie de la calculabilité ou l'imbedding modèle-théorique ; ces mesures peuvent ordonner différemment les théories.

Synthèse

L'analyse ordinale relie notations ordinales constructives, induction transfini et transformations de preuves en une méthode pour quantifier la force proof-théorique d'une théorie, permettant des énoncés de consistance et de conservation concrets.