Une famille {φ_i} de fonctions continues (souvent lisses) sur un espace topologique telle qu'en chaque point seules un nombre fini de φ_i sont non nulles (localement finie), le support de chaque φ_i est contenu dans un élément d'un recouvrement ouvert donné, et la somme sur i de φ_i est la fonction constante 1 sur tout l'espace.

Principe

Les partitions de l'unité permettent de localiser des problèmes globaux : elles subordonnent des constructions globales à un recouvrement ouvert, permettant de recoller des données locales en objets globalement définis tout en contrôlant supports et régularité.

Démonstration

Sur une variéte lisse, choisir une raffinement localement fini du recouvrement ouvert et construire des fonctions bump non négatives supportées dans le raffinement dont la somme normalisée vaut un ; les utiliser pour recoller des formes différentielles locales en une forme globale qui coïncide localement avec les données prescrites.

Mauvaise application

Tenter d'utiliser une famille non localement finie de fonctions, négliger l'inclusion des supports dans le recouvrement prescrit, ou présumer l'existence sur des espaces non paracompacts conduit à des constructions invalides.

Conséquence

On peut étendre des objets locaux en objets globaux, définir des intégrales en localisant sur des cartes, construire des partitions de l'unité lisses subordonnées à tout recouvrement ouvert sur des variétés paracomptes, et effectuer des raisonnements local-vers-global en analyse et géométrie.

Inversion

La notion opposée serait un recouvrement par fonctions caractéristiques d'une partition d'ensemble (discontinu, non lisse) qui n'autorise pas le recollement lisse ; inverser l'exigence somme-égale-à-un donne des décompositions utiles pour l'annulation d'erreurs mais pas pour la localisation à l'unité.

Limite

Exige des hypothèses de paracompacité pour les variétés topologiques et lisses ; tous les espaces topologiques n'admettent pas des partitions de l'unité lisses, et les partitions se construisent en général avec la régularité (continue, C^k, lisse) adaptée à la catégorie envisagée.

Tension sémantique

La confusion concerne souvent 'partition de l'unité' (lisse, sommant à un) et les partitions combinatoires d'un ensemble (fonctions indicatrices disjointes) ; la tension porte sur la lissité et la localité finie versus la décomposition purement combinatoire.

Synthèse

Une partition de l'unité est une famille localement finie de fonctions à support contrôlé qui somme à un et permet de transférer des constructions locales en objets globaux par recollement pondéré, disponible sous paracompacité et adaptée au degré de différentiabilité souhaité.