Una familia {φ_i} de funciones continuas (a menudo suaves) en un espacio topológico tal que en cada punto solo finitamente muchas φ_i son no nulas (localmente finita), el soporte de cada φ_i está contenido en un miembro de una cubierta abierta dada, y la suma sobre i de φ_i es la función constante 1 en todo el espacio.

Principio

Las particiones de la unidad permiten localizar problemas globales: subordinan construcciones globales a una cubierta abierta, posibilitando el pegado de datos locales en objetos globales controlando soportes y regularidad.

Demostración

En una variedad suave, escoger una refinación localmente finita de la cubierta abierta y construir funciones bump no negativas soportadas en la refinación cuya suma normalizada sea uno; usar estas funciones para pegar formas diferenciales locales en una forma global que coincida localmente con los datos dados.

Aplicación incorrecta

Intentar usar una familia no localmente finita de funciones, no respetar la contención de soportes en la cubierta prescrita o asumir existencia en espacios no paracompactos conduce a construcciones inválidas.

Consecuencia

Se pueden extender objetos locales a globales, definir integrales localizando en cartas, construir particiones de la unidad suaves subordinadas a cualquier cubierta abierta en variedades paracompactas, y realizar argumentos de local a global en análisis y geometría.

Inversión

La noción opuesta sería cubrir con funciones características de una partición de conjuntos (discontinuas, no suaves) que no permiten pegado suave; invertir la exigencia de sumar uno produce descomposiciones útiles para cancelación de errores pero no para la localización en la unidad.

Límite

Existe bajo hipótesis de paracompacidad para variedades topológicas y suaves; no todo espacio topológico admite particiones de la unidad suaves, y las particiones se construyen típicamente con la diferenciabilidad correspondiente a la categoría (continua, C^k, suave).

Tensión semántica

A menudo se confunde 'partición de la unidad' (suave, sumando uno) con particiones combinatorias de un conjunto (funciones indicadoras disjuntas); la tensión está entre suavidad y local finitud frente a descomposición puramente combinatoria.

Síntesis

Una partición de la unidad es una familia localmente finita de funciones con soporte controlado que suma a uno y permite transferir construcciones locales a objetos globales mediante pegado ponderado, disponible bajo paracompacidad y adaptada al grado de regularidad deseado.