L'énoncé selon lequel l'équation diophantienne x^n + y^n = z^n n'a pas de solutions entières non nulles (x, y, z entiers non nuls simultanément) pour tout exposant entier n strictement supérieur à 2 ; autrement dit, il n'existe pas de solutions entières primitives non triviales pour n>2.

Principe

Les sommes de puissances entières se comportent fondamentalement différemment pour les exposants 1 et 2 (où les solutions abondent) que pour des exposants supérieurs : la structure arithmétique et algébrique nécessaire pour soutenir des solutions entières non triviales s'effondre au-delà du cas quadratique, phénomène démontré en reliant courbes elliptiques et formes modulaires.

Démonstration

Pour n = 3 et des entiers petits on peut montrer par descente qu'aucun triple entier non nul ne satisfait x^3 + y^3 = z^3 ; historiquement de nombreux exposants furent traités par des méthodes spécialisées, et l'énoncé général a été établi en associant des solutions hypothétiques à des courbes elliptiques dont la modularité interdit leur existence pour tout n>2.

Mauvaise application

Prétendre qu'une démonstration élémentaire unique existe pour tous les exposants basée sur des arguments de bas exposant, ou appliquer à tort le théorème aux solutions rationnelles sans vérifier la primitivité, ou à des équations de forme différente, conduisant à des affirmations erronées.

Conséquence

Outre l'interdiction directe d'une classe de solutions diophantiennes, la conséquence profonde a été la stimulation et le développement d'outils en théorie algébrique des nombres, formes modulaires et études des courbes elliptiques et représentations galoisiennes, enrichissant la géométrie arithmétique moderne.

Inversion

Pour les exposants n = 1 et n = 2 l'énoncé inversé est vrai : il existe une infinité de solutions entières (solutions linéaires pour n=1 et triplets pythagoriciens pour n=2), montrant que l'impossibilité dépend de l'exposant.

Limite

S'applique aux exposants entiers n>2 et aux triplets entiers non triviaux ; il ne concerne pas les exposants rationnels non entiers, les équations de forme différente, les cas autorisant des zéros, ni des énoncés analogues sur d'autres anneaux ou corps sans qualifications supplémentaires.

Tension sémantique

Il existe une tension entre des manipulations algébriques naïves qui suggèrent des généralisations (par exemple factorisations sur les entiers) et la machinerie analytique et arithmétique profonde réellement nécessaire ; de même, on confond souvent énoncés sur solutions entières, rationnelles ou dans des corps de nombres algébriques.

Synthèse

Le dernier théorème de Fermat est une assertion diophantienne négative précise : au-delà des cas linéaire et quadratique il n'existe pas de solutions entières non triviales, et le chemin de sa démonstration a fédéré des domaines variés de la théorie des nombres, transformant une impossibilité conjecturale en moteur de progrès structurels.