Die Aussage, dass die diophantische Gleichung x^n + y^n = z^n für keinen ganzzahligen Exponenten n > 2 nichttriviale ganzzahlige Lösungen (x,y,z alle nicht null) besitzt; äquivalent: es gibt für n>2 keine primitiven ganzen Lösungen ungleich null.

Prinzip

Ganzzahlige Potenzsummen verhalten sich für Exponenten 1 und 2 (wo Lösungen reichlich vorhanden sind) grundlegend anders als für höhere Exponenten: die notwendige arithmetisch-algebraische Struktur, die nichttriviale Ganzzahllösungen ermöglichen würde, bricht zusammen; der Beweis verbindet elliptische Kurven mit Modulformen.

Demonstration

Für n = 3 kann man für kleine Zahlen durch unendliche Abstiegsargumente zeigen, dass keine nichttrivialen ganzzahligen Tripel x^3 + y^3 = z^3 erfüllen; historisch wurden viele Einzelfälle mit speziellen Methoden behandelt, und die allgemeine Aussage wird bewiesen, indem hypothetische Lösungen zu elliptischen Kurven führen, deren Modularität deren Existenz ausschließt.

Fehlanwendung

Die Behauptung, es gebe einen einfachen elementaren Beweis für alle Exponenten auf Basis niederer Exponenten, oder die falsche Anwendung des Satzes auf rationale Lösungen ohne Prüfung der Primitivität oder auf anders geartete Gleichungen, was zu inkorrekten Schlussfolgerungen führt.

Konsequenz

Neben dem direkten Verbot einer Klasse diophantischer Lösungen war die tiefere Folge die Anregung zur Entwicklung von Methoden der algebraischen Zahlentheorie, Modulformen und der Untersuchung elliptischer Kurven und Galois-Darstellungen, wodurch die moderne arithmetische Geometrie stark vorangetrieben wurde.

Umkehrung

Für die Exponenten n = 1 und n = 2 gilt die umgekehrte Aussage: Es existieren unendlich viele ganzzahlige Lösungen (lineare Lösungen für n=1 und pythagoreische Tripel für n=2), was zeigt, dass die Unmöglichkeit vom Exponenten abhängt.

Abgrenzung

Gilt für ganze Exponenten n>2 und ganzzahlige Tripel ohne triviale Nullen; es trifft keine Aussage über rationale nicht ganze Exponenten, Gleichungen anderer Gestalt, Fälle mit Null-Einträgen oder über analoge Aussagen in anderen Ringen oder Körpern ohne weitere Bedingungen.

Semantische Spannung

Es besteht Spannung zwischen naiven algebraischen Manipulationen, die Verallgemeinerungen suggerieren (z. B. Faktorisierungen über den ganzen Zahlen), und der tiefen analytisch-arithmetischen Maschinerie, die tatsächlich nötig ist; ebenso häufige Verwirrung besteht zwischen Aussagen über ganzzahlige, rationale oder in algebraischen Zahlkörpern liegende Lösungen.

Synthese

Fermats letzter Satz ist eine präzise negative diophantische Aussage: jenseits der linearen und quadratischen Fälle existieren keine nichttrivialen ganzzahligen Potenzsummlösungen, und der Beweis vereinte verschiedene Bereiche der Zahlentheorie, wobei eine Unmöglichkeit zur Triebfeder für strukturelle Fortschritte wurde.