Dans un espace topologique normal X, pour deux ensembles fermés disjoints A et B il existe une fonction continue f : X → [0,1] telle que f vaut 0 sur A et 1 sur B ; ceci fournit un séparateur continu entre ensembles fermés.

Principe

La normalité (capacité à séparer les fermés par des voisinages ouverts disjoints) permet de construire des applications continues interpolant des valeurs prescrites sur des fermés disjoints, réalisant un phénomène élémentaire de partition de l'unité.

Démonstration

Dans un espace métrique on peut poser f(x) = d(x,A)/(d(x,A)+d(x,B)) où d est la distance ; cette fonction continue vaut 0 sur A et 1 sur B et illustre le lemme d'Urysohn en présence d'une métrique.

Mauvaise application

Tenter de construire une telle fonction dans un espace non normal peut échouer ; certains espaces non normaux contiennent des fermés disjoints qu'on ne peut séparer par une fonction continue.

Conséquence

Le lemme d'Urysohn est une étape vers le théorème d'extension de Tietze et les partitions de l'unité : il fournit des fonctions continues concrètes utilisées dans les arguments d'immersion et d'extension en topologie et analyse.

Inversion

S'il n'existe aucune fonction continue séparant deux fermés disjoints, l'espace n'est pas normal ; l'échec de la conclusion d'Urysohn sert de certificat de non-normalité.

Limite

Le lemme exige la normalité de l'espace (T1 et séparation de deux fermés par des voisinages disjoints) ; il n'est pas valable pour les espaces simplement séparés par Hausdorff ni pour des espaces topologiques quelconques sans axiomes de séparation supplémentaires.

Tension sémantique

Le lemme d'Urysohn est proche mais plus restreint que les théorèmes d'extension : il produit un séparateur respectant des valeurs aux bords, tandis que Tietze permet d'étendre des fonctions continues arbitraires depuis un fermé vers tout l'espace normal.

Synthèse

Le lemme d'Urysohn traduit la propriété de séparation des espaces normaux en l'existence d'interpolants continus explicites vers [0,1], offrant un outil concret pour séparer et étendre des fonctions en topologie.