Definición
En un espacio topológico normal X, para dos conjuntos cerrados disjuntos A y B existe una función continua f: X → [0,1] tal que f=0 en A y f=1 en B; esto construye un separador continuo entre conjuntos cerrados.
Principio
Principio
La normalidad (capacidad para separar cerrados por vecindades abiertas disjuntas) permite construir aplicaciones continuas que interpolan valores prescritos en cerrados disjuntos, realizando un fenómeno básico de partición de la unidad.
Demostración
Demostración
En un espacio métrico se puede definir f(x) = d(x,A)/(d(x,A)+d(x,B)), donde d es la distancia; esta función continua vale 0 en A y 1 en B y demuestra el lema de Urysohn en el caso métrico.
Aplicación incorrecta
Aplicación incorrecta
Intentar construir tal f en un espacio no normal puede fracasar; algunos espacios no normales contienen cerrados disjuntos que no admiten un separador continuo.
Consecuencia
Consecuencia
El lema de Urysohn es un peldaño hacia el teorema de extensión de Tietze y las particiones de la unidad: proporciona funciones continuas concretas usadas en argumentos de inmersión y extensión en topología y análisis.
Inversión
Inversión
Si no existe ninguna función continua que separe dos cerrados disjuntos, el espacio no es normal; el fracaso de la conclusión de Urysohn sirve como certificado de no normalidad.
Límite
Límite
El lema requiere la normalidad del espacio (T1 y separación de cerrados por vecindades disjuntas); no se garantiza en espacios meramente Hausdorff ni en espacios topológicos arbitrarios sin axiomas de separación adicionales.
Tensión semántica
Tensión semántica
El lema de Urysohn está relacionado con, pero es más débil que los teoremas de extensión: produce un separador con valores fijados en los bordes, mientras que Tietze permite extender funciones continuas arbitrarias desde un cerrado al espacio normal entero.
Síntesis
Síntesis
El lema de Urysohn convierte la propiedad de separación de los espacios normales en la existencia de interpolantes continuos explícitos hacia [0,1], ofreciendo una herramienta práctica para separar y extender funciones en topología.