Théorème topologique affirmant qu'une application continue injective entre ouverts de l'espace euclidien de dimension n est un plongement ouvert ; en particulier l'image d'un ouvert de R^n par une telle application est ouverte et l'application est un homéomorphisme sur son image.

Principe

La structure locale euclidienne, l'injectivité et la continuité conservent l'ouverture et les propriétés d'homéomorphisme local : un plongement ne peut pas écraser la dimension ni créer des points de bord à l'intérieur de l'image.

Démonstration

Si U est une boule ouverte de R^n et f:U→R^n est continue et injective, alors f(U) est ouverte dans R^n et f:U→f(U) est un homéomorphisme ; cela empêche par exemple qu'une application continue injective envoie une boule ouverte n-dimensionnelle dans un sous-espace de dimension inférieure.

Mauvaise application

Supposer le résultat pour des injections entre espaces de dimensions différentes, pour des applications continues non injectives ou dans des espaces vectoriels topologiques de dimension infinie sans vérifier des hypothèses supplémentaires.

Conséquence

Implique l'invariance de la dimension au sens local et interdit des plongements pathologiques de domaines euclidiens dans des espaces euclidiens de dimension inférieure ; il fonde de nombreux résultats de classification en topologie et théorie des variétés.

Inversion

Abandonner l'injectivité permet que l'image d'un ouvert ne soit plus ouverte (elle peut se plier ou se recouper) ; changer le domaine ou le codomaine en espaces non euclidiens ou de dimension infinie peut inverser les conclusions d'ouverture.

Limite

Valable pour des applications continues injectives entre ouverts de R^n ; ne s'applique pas aux espaces topologiques généraux, aux applications non injectives, ni aux plongements dans des espaces dépourvus de structure locale euclidienne sans hypothèses complémentaires.

Tension sémantique

Lié à l'invariance de la dimension et aux théorèmes d'immersion/plongement ; la tension apparaît en comparant le comportement topologique local (invariance du domaine) avec les immersions globales de variétés ou avec des résultats requérant la différentiabilité plutôt que la simple continuité.

Synthèse

L'invariance du domaine affirme que les applications continues injectives entre domaines euclidiens conservent l'ouverture et la structure d'homéomorphisme local, formalisant que les morceaux euclidiens de dimension n ne peuvent pas dissimuler ni réduire leur dimension sous un plongement topologique.