La dimension de Krull d'un anneau commutatif est le supremum des longueurs n de chaînes d'idéaux premiers P0 ⊂ P1 ⊂ ... ⊂ Pn ; elle fournit une mesure algébrique de « dimension » qui correspond souvent à la dimension géométrique de Spec de l'anneau.

Principe

Mesurer la dimension par la longueur maximale de chaînes strictement croissantes d'idéaux premiers, encodant ainsi la stratification du spectre et la structure de codimension disponible dans l'anneau.

Démonstration

Un corps a dimension de Krull 0 car son seul idéal premier est (0) ; l'anneau de polynômes k[x1,...,xn] sur un corps a dimension de Krull n correspondant à des chaînes (0) ⊂ (x1) ⊂ (x1,x2) ⊂ ... d'idéaux premiers ; un anneau de valuation discrète a dimension de Krull 1.

Mauvaise application

Utiliser la dimension de Krull naïvement pour des anneaux non commutatifs sans adapter la définition, ou confondre la dimension de Krull avec la dimension d'un espace vectoriel ou avec des dimensions homologiques ; traiter aussi la dimension de Krull comme se comportant bien sous des quotients arbitraires sans vérifier les effets sur les chaînes d'idéaux premiers.

Conséquence

La dimension de Krull gouverne de nombreuses propriétés structurelles et géométriques : donne la dimension de Spec, contrôle le comportement des chaînes de fermés irréductibles, interagit avec la profondeur, la régularité et les formules de dimension, et oriente l'intuition géométrique en géométrie algébrique.

Inversion

La perspective inverse étudie les anneaux de dimension zéro ou artiniens où la dimension de Krull est 0, mettant en lumière un comportement algébrique discret et de type fini plutôt que des structures géométriques de dimension supérieure.

Limite

Définie pour les anneaux commutatifs (unitares) via les idéaux premiers ; elle peut être infinie pour certains anneaux, et dans des contextes non commutatifs ou plus exotiques il faut des notions adaptées (par ex. Gelfand–Kirillov, dimensions homologiques) plutôt que la dimension de Krull classique.

Tension sémantique

Tension entre la dimension de Krull et d'autres notions de « dimension » (dimension d'espace vectoriel, dimension globale, dimension homologique, dimension géométrique/topologique) : elles coïncident dans de nombreux cas Noethériens réguliers mais divergent en présence de singularités, d'infinité ou de non-commutativité.

Synthèse

La dimension de Krull saisit la notion algébrique-géométrique de dimension en comptant les chaînes maximales d'idéaux premiers dans un anneau commutatif ; elle relie la stratification primoïdale de l'anneau à la dimension géométrique de son spectre tout en exigeant de surveiller les hypothèses de Noethérianité et les différences vis-à-vis d'autres notions de dimension.