La dimensión de Krull de un anillo conmutativo es el supremo de las longitudes n de cadenas de ideales primos P0 ⊂ P1 ⊂ ... ⊂ Pn; proporciona una medida algebraica de 'dimensión' que con frecuencia corresponde a la dimensión geométrica de Spec del anillo.

Principio

Medir la dimensión por la longitud máxima de cadenas estrictamente crecientes de ideales primos, codificando así la estratificación del espectro y la estructura de codimensión disponible en el anillo.

Demostración

Un campo tiene dimensión de Krull 0 porque su único ideal primo es (0); el anillo de polinomios k[x1,...,xn] sobre un campo tiene dimensión de Krull n, correspondiente a cadenas (0) ⊂ (x1) ⊂ (x1,x2) ⊂ ... de primos; un dominio de valoración discreta tiene dimensión de Krull 1.

Aplicación incorrecta

Usar la dimensión de Krull de forma ingenua en anillos no conmutativos sin adaptar la definición, o confundirla con la dimensión de espacio vectorial o con dimensiones homológicas; también tratar la dimensión de Krull como si se comportara bien bajo cocientes arbitrarios sin comprobar los efectos sobre cadenas de primos.

Consecuencia

La dimensión de Krull gobierna muchas propiedades estructurales y geométricas: da la dimensión de Spec, controla el comportamiento de cadenas de cerrados irreducibles, interactúa con la profundidad, la regularidad y las fórmulas de dimensión, y guía la intuición geométrica en geometría algebraica.

Inversión

El enfoque invertido estudia anillos de dimensión cero o artinianos donde la dimensión de Krull es 0, destacando un comportamiento algebraico discreto de tipo finito en lugar de una estructura geométrica de mayor dimensión.

Límite

Definida para anillos conmutativos (con 1) mediante ideales primos; puede ser infinita para algunos anillos, y en contextos no conmutativos o más exóticos se requieren nociones modificadas (por ejemplo, Gelfand–Kirillov o dimensiones homológicas) en lugar de la dimensión de Krull clásica.

Tensión semántica

Existe tensión entre la dimensión de Krull y otras nociones de 'dimensión' (dimensión de espacio vectorial, dimensión global, dimensión homológica, dimensión geométrica/topológica): coinciden en muchos casos regulares Noetherianos pero pueden divergir en contextos singulares, infinitos o no conmutativos.

Síntesis

La dimensión de Krull captura la noción algebraico-geométrica de dimensión contando cadenas máximas de ideales primos en un anillo conmutativo; conecta la estratificación primoidal del anillo con la dimensión geométrica de su espectro, exigiendo atención a hipótesis de Noetherianidad y diferencias con otras nociones de dimensión.