Le plus grand entier n (ou l'infini) pour lequel un groupe ou un espace topologique donné possède une cohomologie non triviale au degré n à coefficients dans un certain module (ou système de coefficients) ; pour les groupes il s'agit souvent du supremum des degrés où la cohomologie de groupe avec des modules appropriés est non nulle.

Principe

Utiliser les degrés de vanishing/non-vanishing de la cohomologie comme mesure de la « taille homologique » ou de la complexité d'un espace ou d'un groupe, équivalemment la longueur minimale des résolutions projectives ou libres nécessaires pour résoudre le module trivial dans les contextes de groupes.

Démonstration

Un groupe libre a dimension cohomologique 1 car sa cohomologie de groupe s'annule au-delà du degré 1 ; le groupe fondamental d'une surface fermée orientable de genre g ≥ 2 a dimension cohomologique 2 ; les groupes finis ont une dimension cohomologique finie liée à des phénomènes de cohomologie périodique selon les coefficients.

Mauvaise application

Supposer que la dimension cohomologique égale la dimension topologique (de recouvrement) dans tous les contextes, ou ignorer la dépendance aux modules de coefficients et au fait qu'on considère des coefficients triviaux, tordus ou profinis ; ou négliger que cd peut être infini pour certains groupes.

Conséquence

Connaître la dimension cohomologique contraint les actions possibles sur des complexes asphériques, borne les longueurs des résolutions projectives, informe sur des propriétés de dualité et restreint les comportements algébriques et géométriques des groupes et espaces.

Inversion

La vue inverse étudie les objets à dimension cohomologique infinie : au lieu d'un plafond fini pour les degrés non nuls on examine une cohomologie en degrés élevés persistante, signe d'une structure homologique plus complexe ou pathologique.

Limite

La dimension cohomologique dépend de la catégorie des modules de coefficients choisie (par ex. Z-modules, modules p-locaux, modules profinis), peut être infinie, et diffère des notions de dimension géométrique ou homologique sauf sous hypothèses supplémentaires de finitude.

Tension sémantique

Tension entre dimension cohomologique et dimension géométrique/topologique : elles coïncident dans de nombreux cas bien comportés (par ex. variétés asphériques) mais peuvent diverger en présence de torsion, de coefficients tordus ou d'absence de conditions de finitude.

Synthèse

La dimension cohomologique mesure le degré le plus élevé en lequel la cohomologie peut être non triviale pour certains coefficients ; c'est un invariant algébrique des groupes et espaces lié aux longueurs de résolution et à la dualité, dont l'interprétation géométrique exige de suivre la dépendance aux coefficients et aux conditions de finitude.