El mayor entero n (o infinito) tal que un grupo o espacio topológico dado tiene cohomología no trivial en grado n con coeficientes en algún módulo (o sistema de coeficientes); para grupos suele ser el supremo de los grados en los que la cohomología de grupo con módulos adecuados es no nula.

Principio

Usar los grados de anulación/no anulación de la cohomología como medida del 'tamaño homológico' o complejidad de un espacio o grupo; equivalentemente, la longitud mínima de resoluciones proyectivas o libres necesarias para resolver el módulo trivial en contextos de grupos.

Demostración

Un grupo libre tiene dimensión cohomológica 1 porque su cohomología de grupo se anula por encima del grado 1; el grupo fundamental de una superficie cerrada orientable de género g ≥ 2 tiene dimensión cohomológica 2; los grupos finitos tienen dimensión cohomológica finita relacionada con fenómenos de cohomología periódica según los coeficientes.

Aplicación incorrecta

Suponer que la dimensión cohomológica equivale a la dimensión topológica en todos los contextos, o ignorar la dependencia respecto a los módulos de coeficientes y si se usan coeficientes triviales, retorcidos o profinitos; también olvidar que cd puede ser infinito para algunos grupos.

Consecuencia

Conocer la dimensión cohomológica restringe acciones posibles sobre complejos asféricos, acota longitudes de resoluciones proyectivas, informa sobre propiedades de dualidad y limita comportamientos algebraicos y geométricos de grupos y espacios.

Inversión

La perspectiva invertida estudia objetos con dimensión cohomológica infinita: en lugar de un tope finito de grados no nulos se examina cohomología persistente en grados altos, lo que indica una estructura homológica más compleja o patológica.

Límite

La dimensión cohomológica depende de la categoría de módulos de coeficientes elegida (por ejemplo, Z-módulos, módulos p-locales, módulos profinitos), puede ser infinita y difiere de la dimensión geométrica u homológica salvo que existan hipótesis adicionales de finitud.

Tensión semántica

Existe tensión entre la dimensión cohomológica y la dimensión geométrica/topológica: coinciden en muchos casos bien comportados (por ejemplo, variedades asféricas) pero pueden diverger en presencia de torsión, coeficientes retorcidos o falta de condiciones de finitud.

Síntesis

La dimensión cohomológica mide el grado más alto en que la cohomología puede ser no trivial para ciertos coeficientes; es un invariante algebraico de grupos y espacios ligado a longitudes de resolución y dualidad, cuya interpretación geométrica requiere tener en cuenta la dependencia de coeficientes y condiciones de finitud.