Sous-ensemble d'un espace mesuré dont la mesure est nulle par rapport à la mesure donnée ; ces ensembles sont négligeables pour l'intégration et pour les affirmations « presque partout » car ils ne contribuent pas aux intégrales et peuvent être omis dans les propriétés mesure-théoriques.

Principe

Les propriétés valant en dehors d'un ensemble nul valent « presque partout » ; les ensembles nuls peuvent être recouverts par des ensembles de mesure totale arbitrairement petite, donc modifier une fonction sur un ensemble nul ne change pas ses intégrales ni sa classe d'équivalence dans les espaces L^p.

Démonstration

Sur la droite réelle avec la mesure de Lebesgue, l'ensemble des rationnels est un ensemble nul (dénombrable), l'ensemble de Cantor a mesure de Lebesgue zéro bien qu'il soit non dénombrable, et tout singleton dans R^n est de mesure nulle.

Mauvaise application

Supposer qu'un ensemble nul est topologiquement petit (par exemple forcément d'intérieur vide ou nowhere dense) ou traiter des ensembles non mesurables comme nuls sans vérifier la mesurabilité, ou ignorer que les valeurs ponctuelles sur un ensemble nul peuvent compter dans des contextes pointwise.

Conséquence

Les ensembles nuls fondent la notion de presque partout utilisée en intégration, différentiation a.e. et théorèmes de convergence : des fonctions qui diffèrent seulement sur un ensemble nul sont identifiées dans L^p, et de nombreux résultats autorisent des exceptions sur des ensembles nuls sans affecter la conclusion.

Inversion

Le complément d'un ensemble nul est un ensemble de mesure pleine ; des propriétés qui échouent sur un ensemble de mesure pleine témoignent d'un échec substantiel, à l'opposé d'échecs confinés à des ensembles nuls souvent négligeables en théorie de la mesure.

Limite

Les ensembles nuls sont définis relativement à une mesure donnée ; un ensemble peut être nul pour une mesure et de mesure pleine pour une autre. Les ensembles non mesurables ne sont pas qualifiés de nuls. Le concept s'applique dans des espaces mesurés, pas dans des cadres purement topologiques sans mesure.

Tension sémantique

Tension entre la notion mesure-théorique de « nul » et la notion catégorielle de « maigre » : un ensemble peut être nul mais topologiquement grand (dense) ou venirager tout en ayant mesure nulle, si bien que la mesure et la catégorie expriment des idées de négligeabilité différentes.

Synthèse

Un ensemble nul est un sous-ensemble négligeable dépendant de la mesure : s'il peut être recouvert par des ensembles de mesure totale arbitrairement petite, les exceptions qui s'y limitent sont ignorables pour l'intégration et les propriétés presque partout, mais la mesurabilité et la mesure ambiante déterminent toujours cette classification.