Subconjunto de un espacio medible cuya medida es cero respecto a la medida dada; tales conjuntos son despreciables para la integración y para las afirmaciones 'casi en todas partes' porque no contribuyen a las integrales y pueden omitirse en propiedades medida-teóricas.

Principio

Las propiedades que valen fuera de un conjunto nulo se dicen que valen casi en todas partes; los conjuntos nulos pueden cubrirse por conjuntos de medida total arbitrariamente pequeña, de modo que alterar una función en un conjunto nulo no cambia sus integrales ni su clase de equivalencia en los espacios L^p.

Demostración

En la recta real con medida de Lebesgue, el conjunto de racionales es un conjunto nulo (numerable), el conjunto de Cantor tiene medida de Lebesgue cero aunque es no numerable, y cualquier singleton en R^n tiene medida cero.

Aplicación incorrecta

Asumir que un conjunto nulo es topológicamente pequeño (por ejemplo, necesariamente no denso en ningún intervalo) o tratar conjuntos no medibles como nulos sin verificar la medibilidad, o suponer que los valores puntuales en un conjunto nulo son irrelevantes en contextos donde la definición puntual importa.

Consecuencia

Los conjuntos nulos sustentan la noción de 'casi en todas partes' usada en integración, diferenciación a.e. y teoremas de convergencia: funciones que difieren solo en un conjunto nulo se identifican en L^p, y muchos teoremas permiten excepciones en conjuntos nulos sin alterar las conclusiones.

Inversión

El complemento de un conjunto nulo es un conjunto de medida plena; afirmaciones que fallan en un conjunto de medida plena indican un fracaso auténtico, a diferencia de fallos confinados a conjuntos nulos que a menudo son despreciables en contextos medida-teóricos.

Límite

Los conjuntos nulos se definen respecto de una medida concreta; un conjunto puede ser nulo para una medida y de medida plena para otra. Los conjuntos no medibles no se clasifican como nulos. El concepto se aplica en espacios medibles, no en marcos puramente topológicos sin una medida especificada.

Tensión semántica

Tensión entre la noción medida-teórica de 'nulo' y la noción categorial de 'menor' (meager): un conjunto puede ser nulo pero topológicamente grande (denso) o venirager y aun así tener medida cero, por lo que medida y categoría capturan distintas nociones de negligibilidad.

Síntesis

Un conjunto nulo es un subconjunto despreciable dependiente de la medida: si puede cubrirse por conjuntos de medida total arbitrariamente pequeña, las excepciones confinadas a él son despreciables para la integración y las propiedades casi en todas partes, pero la medibilidad y la medida ambiente determinan esa clasificación.