Un invariant entier d'une surface connexe fermée qui compte le nombre de 'poignées' (pour les surfaces orientables) ou, équivalemment, le nombre maximal de courbes simples fermées disjointes dont le retrait n'offre pas de déconnexion ; pour une surface orientable fermée le genre g vérifie χ = 2 − 2g.

Principe

Le genre classe les surfaces fermées à homéomorphisme près dans le cas orientable : les surfaces sont déterminées par l'orientabilité et par le nombre de poignées (le genre).

Démonstration

La sphère a genre 0, le tore a genre 1, et la somme connexe de deux tores (double tore) a genre 2. Pour une surface orientable le premier nombre de Betti vaut b1 = 2g, liant le genre à l'homologie.

Mauvaise application

Employer 'genre' sans préciser l'orientabilité (les surfaces non orientables comptent des rubans de Möbius/capsules différentes), ou confondre le genre topologique avec le genre d'embedding d'un graphe ou le genre algébrique d'une courbe.

Conséquence

Le genre détermine des invariants clés comme la caractéristique d'Euler et le rang de l'homologie première pour les surfaces orientables fermées ; il est central dans les théorèmes de classification et le dénombrement des cycles indépendants.

Inversion

La perspective inverse porte sur le genre non orientable (nombre de crosscaps) ou sur la séparation de la surface par découpe le long de courbes ; remplacer poignées par crosscaps change le schéma de classification.

Limite

Le genre standard s'applique aux surfaces connexes et fermées (compactes sans bord) ; pour les surfaces avec bord ou disconnexes la définition s'adapte en coiffant les bords ou en sommant les genres des composantes et doit préciser l'orientabilité.

Tension sémantique

Tension entre genre et invariants connexes (nombres de Betti, caractéristique d'Euler, genre algébrique) ainsi qu'entre le genre topologique et des notions issues de l'embedding ou de la géométrie algébrique qui emploient le même terme techniquement différent.

Synthèse

Le genre est le nombre entier de poignées (pour les surfaces orientables fermées), équivalent à la moitié du premier nombre de Betti et déterminant la caractéristique d'Euler, constituant l'invariant principal pour classifier les surfaces orientables fermées.