Definición
Un invariante entera de una superficie cerrada y conexa que cuenta el número de 'asas' (en superficies orientables) o, equivalentemente, el número máximo de curvas cerradas simples disjuntas cuya extracción no desconecta la superficie; para una superficie orientable cerrada el género g satisface χ = 2 − 2g.
Principio
Principio
El género clasifica superficies cerradas hasta homeomorfismo en el caso orientable: las superficies vienen determinadas por su orientabilidad y por el número de asas (el género).
Demostración
Demostración
La esfera tiene género 0, el toro género 1, y la suma conexa de dos toros (doble toro) tiene género 2. Para una superficie orientable se cumple b1 = 2g, vinculando el género con la homología.
Aplicación incorrecta
Aplicación incorrecta
Usar 'género' sin precisar la orientabilidad (las superficies no orientables se describen con un conteo distinto de crosscaps), o confundir el género topológico con el género de incrustación de un grafo o con el género algebraico de una curva.
Consecuencia
Consecuencia
El género determina invariantes clave como la característica de Euler y el rango de la primera homología en superficies orientables cerradas; es central en teoremas de clasificación y en el conteo de ciclos independientes.
Inversión
Inversión
La perspectiva inversa se centra en el género no orientable (número de crosscaps) o en desconectar la superficie cortando a lo largo de curvas; sustituir asas por crosscaps da lugar a otra clasificación.
Límite
Límite
El género estándar se aplica a superficies conexas y cerradas (compactas sin borde); para superficies con borde o desconectadas la definición se adapta tapando bordes o sumando los géneros de las componentes, y se debe indicar la orientabilidad.
Tensión semántica
Tensión semántica
Tensión entre género y invariantes relacionados (números de Betti, característica de Euler, género algebraico) y entre el género topológico y nociones de incrustación o geometría algebraica que usan la misma palabra con significado técnico distinto.
Síntesis
Síntesis
El género es el número entero de asas (para superficies orientables cerradas), equivalente a la mitad del primer número de Betti y determinante de la característica de Euler; constituye el invariante principal para clasificar superficies orientables cerradas.