Opération sur un complexe simplicial qui produit un complexe plus fin en insérant le barycentre de chaque simplexe et en subdivisant chaque simplexe en des simples plus petits dont les sommets sont les barycentres de faces.

Principe

Remplacer chaque simplexe par des simplexes engendrés par les barycentres de ses chaînes de faces (ordonnées par inclusion) ; géométriquement cela affine le maillage tout en préservant l'espace sous-jacent et le type combinatoire à subdivison près.

Démonstration

Pour un triangle, insérer les barycentres du triangle, de ses arêtes et de ses sommets, puis subdiviser le triangle en six petits triangles dont les sommets sont les barycentres de faces emboîtées, obtenant une triangulation plus fine aux diamètres de simplexes réduits.

Mauvaise application

Appliquer la subdivision barycentrique à un complexe cellulaire sans triangulation préalable ou interpréter à tort les barycentres dans un plongement non euclidien peut produire une structure combinatoire invalide ou dégrader des propriétés voulues si l'opération est incohérente.

Conséquence

La subdivision barycentrique répétée diminue la taille du maillage (diamètres des simplexes) et fournit des complexes utiles pour des approximations en homotopie, des constructions piecewise-linear et pour assurer des approximations simpliciales de fonctions continues.

Inversion

La notion inverse est le grossissement ou la fusion stellaire qui rassemble des simplexes ; l'inverse de la subdivision barycentrique n'est pas canonique et nécessite généralement des choix, il n'existe donc pas d'opération globale unique inverse.

Limite

Définie pour les complexes simpliciaux (abstraits ou géométriques) ; elle ne s'applique pas directement aux CW-complexes arbitraires sans triangulation et ne modifie pas la réalisation topologique sous-jacente, bien qu'elle change la combinatoire et la géométrie locale.

Tension sémantique

Souvent mise en regard de la subdivision stellaire : la subdivision barycentrique utilise les barycentres de toutes les faces et donne un raffinement canonique, tandis que les opérations stellaires subdivisent localement autour d'un simplexe et ont des effets combinatoires différents.

Synthèse

La subdivision barycentrique affine systématiquement un complexe simplicial en insérant des barycentres et en subdivisant selon les chaînes de faces, produisant un complexe plus fin à plus petits simplexes qui préserve la réalisation géométrique et facilite les arguments PL et d'homotopie.