Expression unique d'un endomorphisme linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie (sur un corps où le polynôme minimal se scinde et est séparable) comme somme d'un endomorphisme semi-simple (diagonalisable) et d'un endomorphisme nilpotent qui commutent.

Principe

Factoriser le polynôme minimal en facteurs premiers relatifs correspondant aux parties semi-simples et nilpotentes ; construire la partie semi-simple comme un polynôme de l'endomorphisme projetant sur le facteur diagonalisable et la partie nilpotente comme le reste, garantissant la commutation et l'unicité.

Démonstration

Pour une matrice A sur un corps algébriquement clos, conjuger A en sa forme de Jordan J = D + N où D est bloc-diagonale avec les valeurs propres sur la diagonale (semi-simple) et N est strictement bloc-supérieure triangulaire (nilpotente). Alors A = S + N avec S similaire à D et [S,N]=0.

Mauvaise application

Supposer que la décomposition existe sur un corps de base quelconque sans vérifier que le polynôme minimal se scinde en facteurs séparables ; ou confondre la décomposition Jordan–Chevalley avec le choix d'une forme de Jordan dépendant de la base.

Conséquence

Fournit une séparation intrinsèque du comportement diagonaliste et nilpotent d'un opérateur, facilitant le calcul des fonctions de l'opérateur (exponentielle, polynômes) et simplifiant les problèmes en théorie des représentations et actions de groupes algébriques.

Inversion

L'inversion consisterait à confondre les comportements semi-simples et nilpotents en prenant le radical ou le quotient semi-simple au lieu de scinder additivement, ce qui détruit la structure de commutation préservée par la décomposition.

Limite

Exige que le polynôme minimal se scinde et soit séparable, ou un corps parfait (par exemple caractéristique zéro ou corps finis). Sur des corps imparfaits ou sans scission, il faut passer à une extension de corps ou utiliser une version multiplicative pour les groupes algébriques.

Tension sémantique

Souvent confondue avec la forme canonique de Jordan : cette dernière dépend d'un choix de base et décrit la structure en blocs, tandis que Jordan–Chevalley est une séparation intrinsèque au niveau de l'opérateur en parties semi-simples et nilpotentes quand les hypothèses sont satisfaites.

Synthèse

La décomposition Jordan–Chevalley est la séparation canonique et indépendante de la base d'un endomorphisme en composantes commutantes semi-simples et nilpotentes, obtenue par la factorisation du polynôme minimal et isolant l'action diagonalisable du comportement nilpotent.