Expresión única de un endomorfismo lineal de un espacio vectorial de dimensión finita (sobre un cuerpo donde el polinomio minimal se descompone y es separable) como suma de un endomorfismo semisimple (diagonalizable) y un endomorfismo nilpotente que conmutan entre sí.

Principio

Factorizar el polinomio minimal en factores coprimos correspondientes a la parte semisimple y la nilpotente; construir la parte semisimple como un polinomio en el endomorfismo que proyecta al factor diagonalizable y la parte nilpotente como el resto, asegurando conmutación y unicidad.

Demostración

Para una matriz A sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, conjugar A a su forma de Jordan J = D + N donde D es bloque-diagonal con los autovalores en la diagonal (semisimple) y N es estrictamente bloque-superior triangular (nilpotente). Entonces A = S + N con S semejante a D y [S,N]=0.

Aplicación incorrecta

Asumir que la descomposición existe sobre cualquier cuerpo base sin verificar que el polinomio minimal se descompone en factores separables; confundir la descomposición Jordan–Chevalley con la forma de Jordan dependiente de una base.

Consecuencia

Proporciona una separación intrínseca del comportamiento diagonalizable y nilpotente de un operador, facilita el cálculo de funciones del operador (exponencial, polinomios) y simplifica problemas en teoría de representaciones y acciones de grupos algebraicos.

Inversión

La inversión sería mezclar los comportamientos semisimple y nilpotente empleando, por ejemplo, el radical o el cociente semisimple en lugar de una descomposición aditiva, perdiéndose la estructura de conmutación que preserva la descomposición.

Límite

Requiere que el polinomio minimal se descomponga y sea separable, o un cuerpo perfecto (por ejemplo carácter cero o cuerpos finitos). Sobre cuerpos imperfectos o sin descomposición puede ser necesario pasar a una extensión de cuerpo o usar una versión multiplicativa para grupos algebraicos.

Tensión semántica

A menudo se confunde con la forma canónica de Jordan: ésta depende de la elección de base y describe la estructura en bloques, mientras que Jordan–Chevalley es una separación intrínseca a nivel del operador en partes semisimple y nilpotente cuando se cumplen las hipótesis.

Síntesis

La descomposición Jordan–Chevalley es la separación canónica e independiente de la base de un endomorfismo en sumandos conmutativos semisimple y nilpotente, obtenida a partir de la factorización del polinomio minimal y que aísla la acción diagonalizable del comportamiento nilpotente.