Un objet géométrique défini comme l'ensemble des solutions d'équations polynomiales sur un corps et muni de la topologie de Zariski ; classiquement on le prend souvent pour un schéma réduit et séparé de type fini sur un corps, éventuellement irréductible (variété intègre) ou réductible.

Principe

Capturer la géométrie par des équations polynomiales : l'anneau de coordonnées et ses idéaux encodent les propriétés géométriques, la dimension et les morphismes entre variétés via des morphismes algébriques.

Démonstration

Une variété affine V(I) ⊂ A^n_k définie par un idéal I ⊂ k[x_1,...,x_n] possède pour anneau de coordonnées k[x_1,...,x_n]/I ; les variétés projectives proviennent d'équations homogènes dans l'espace projectif et se recollent à partir de morceaux affines.

Mauvaise application

Supposer que tout schéma de type fini sur un corps est une variété (en ignorant les schémas non réduits ou la séparabilité), ou traiter les variétés uniquement sur corps algébriquement clos lorsque le comportement arithmétique sur corps généraux importe.

Conséquence

Les variétés permettent d'utiliser des outils algébriques (anneaux de coordonnées, théorie de la dimension, morphismes, applications rationnelles) et soutiennent des notions géométriques comme la lissité, les singularités et la théorie des intersections sur un corps.

Inversion

Schéma général ou espace analytique : en relâchant la condition de réduction, de finitude ou la base corps, on obtient des schémas avec nilpotents, des schémas formels ou des espaces analytiques où les équations polynomiales sont remplacées par des séries convergentes.

Limite

Typiquement limité aux schémas réduits de type fini sur un corps et souvent supposé séparé ; exclut les schémas sur anneaux généraux, les champs, les schémas formels et la plupart des espaces analytiques ou transcendants.

Tension sémantique

Variété versus schéma : les variétés sont classiques, souvent réduites et définies sur un corps ; les schémas sont plus larges, autorisent les nilpotents et des anneaux de base arithmétiques — le choix dépend des phénomènes que l'on souhaite capturer.

Synthèse

Une variété algébrique est un lieu géométrique découpé par des polynômes sur un corps, dont l'anneau de coordonnées encode la structure algébrique ; en tant que schéma réduit de type fini elle offre un cadre classique mais souple pour l'étude de la géométrie algébrique.