Un objeto geométrico definido como el conjunto de soluciones de ecuaciones polinómicas sobre un cuerpo y provisto de la topología de Zariski; en términos clásicos suele considerarse un esquema reducido, separado y de tipo finito sobre un cuerpo, posiblemente irreducible (variedad integral) o reducible.

Principio

Capturar la geometría mediante ecuaciones polinómicas: el anillo de coordenadas y sus ideales codifican propiedades geométricas, la dimensión y las aplicaciones entre variedades mediante morfismos algebraicos.

Demostración

Una variedad afín V(I) ⊂ A^n_k definida por un ideal I ⊂ k[x_1,...,x_n] tiene anillo de coordenadas k[x_1,...,x_n]/I; las variedades proyectivas surgen de ecuaciones homogéneas en el espacio proyectivo y se pegan a partir de piezas afines.

Aplicación incorrecta

Asumir que todo esquema de tipo finito sobre un cuerpo es una variedad (ignorando esquemas no reducidos o la separabilidad), o tratar las variedades únicamente sobre cuerpos algebraicamente cerrados cuando el comportamiento aritmético sobre cuerpos generales importa.

Consecuencia

Las variedades permiten el uso de herramientas algebraicas (anillos de coordenadas, teoría de la dimensión, morfismos, mapas racionales) y sustentan nociones geométricas como la suavidad, las singularidades y la teoría de intersecciones sobre un cuerpo.

Inversión

Esquema general o espacio analítico: relajar la condición de reducido, finitud o de base cuerpo conduce a esquemas con nilpotentes, esquemas formales o espacios analíticos donde las ecuaciones polinómicas se sustituyen por series de potencias convergentes.

Límite

Típicamente restringida a esquemas reducidos de tipo finito sobre un cuerpo y a menudo asumida separada; excluye esquemas sobre anillos generales, stacks, esquemas formales y la mayoría de espacios analíticos o trascendentes.

Tensión semántica

Variedad frente a esquema: las variedades son clásicas, a menudo reducidas y sobre un cuerpo; los esquemas son más amplios, admiten nilpotentes y anillos base aritméticos — la elección depende de los fenómenos que se quiera capturar.

Síntesis

Una variedad algebraica es un lugar geométrico recortado por polinomios sobre un cuerpo, cuyo anillo de coordenadas codifica su estructura algebraica; como esquema reducido de tipo finito proporciona un marco clásico pero flexible para el estudio de la geometría algebraica.