Un objet combinatoire composé d'un ensemble de sommets et d'une collection de sous-ensembles finis (simplices) fermée par l'opération de prise de faces : si un simplexe est inclus alors tout sous-ensemble non vide de ses sommets l'est aussi.

Principe

La fermeture par faces et la finitude des simplexes sont les règles organisatrices : les simplexes sont des ensembles de sommets représentant des blocs de dimension k, et la famille des simplexes doit être stable par inclusion de sous-ensembles correspondant aux faces de dimension inférieure.

Démonstration

Exemple : un triangle de sommets {v1,v2,v3} est représenté par les simplexes {v1},{v2},{v3},{v1,v2},{v2,v3},{v1,v3},{v1,v2,v3} ; ce complexe combinatoire admet une réalisation géométrique comme simplexe 2D plein.

Mauvaise application

Prendre un hypergraphe arbitraire pour un complexe simplicial sans vérifier la fermeture par faces, ou supposer que tout complexe simplicial admet une réalisation géométrique unique ou une structure piecewise-linear sans conditions supplémentaires.

Conséquence

Les complexes simpliciaux admettent une réalisation géométrique standard et supportent homologie, cohomologie et invariants combinatoires ; ils fournissent des modèles combinatoires finis pour des espaces topologiques et se prêtent au calcul algorithmique.

Inversion

La notion inverse est une collection d'ensembles sans fermeture par faces (un hypergraphe) : de telles collections peuvent coder des relations d'arité supérieure mais ne garantissent pas la présence de faces de dimension inférieure, si bien que de nombreuses constructions topologiques échouent ou nécessitent des données supplémentaires.

Limite

Les complexes simpliciaux sont abstraits (combinatoires) ou géométriques ; ils n'ont pas besoin d'être finis, purs ou de type variétés. Ils excluent les attachements de cellules avec identifications qui ne sont pas exprimables par des simplexes et ne couvrent pas les complexes CW généraux sans triangulation.

Tension sémantique

Une tension existe entre complexes simpliciaux et notions voisines telles que delta-complexes, complexes CW et hypergraphes : chacun encode la topologie combinatoire avec une flexibilité différente concernant les identifications et la structure des faces, et ces choix influent sur les invariants et réalisations.

Synthèse

Un complexe simplicial est un schéma combinatoire de sommets et de simplexes fermé par faces servant de modèle discret pour la topologie : sa règle de fermeture et sa simplicité en font un pont fondamental entre combinatoire et invariants topologiques.