Ein kombinatorisches Objekt bestehend aus einer Menge von Ecken und einer Sammlung endlicher Teilmengen (Simplices), die unter dem Bilden nichtleerer Seiten abgeschlossen ist: ist ein Simplex enthalten, so sind es auch alle nichtleeren Teilmengen seiner Ecken.

Prinzip

Die Abschluss-Eigenschaft unter Seiten und die Endlichkeit der Simplexe sind die ordnenden Regeln: Simplexe sind Mengen von Ecken, die k-dimensionale Bausteine repräsentieren, und die Simplexfamilie muss unter Inklusion von Teilmengen stabil sein, die niedrigerdimensionale Seiten entsprechen.

Demonstration

Beispiel: Ein Dreieck mit Ecken {v1,v2,v3} wird durch die Simplexe {v1},{v2},{v3},{v1,v2},{v2,v3},{v1,v3},{v1,v2,v3} dargestellt; dieser kombinatorische Komplex besitzt eine geometrische Realisierung als ausgefüllter 2-Simplex.

Fehlanwendung

Ein beliebiges Hypergraph als Simplizialkomplex zu behandeln, ohne den Abschluss unter Seiten sicherzustellen, oder anzunehmen, jeder Simplizialkomplex habe eine eindeutige geometrische Realisierung oder pl-zusammenhängende Struktur ohne zusätzliche Bedingungen.

Konsequenz

Simplizialkomplexe besitzen eine Standard-Realisation und tragen Homologie, Kohomologie und kombinatorische Invarianten; sie liefern endliche kombinatorische Modelle für topologische Räume und sind algorithmisch zugänglich.

Umkehrung

Das Gegenstück ist eine Sammlung von Mengen ohne Seitenabschluss (ein Hypergraph): solche Sammlungen können höher-ordentliche Relationen kodieren, garantieren aber keine niedrigerdimensionalen Seiten, sodass viele topologische Konstruktionen fehlschlagen oder zusätzliche Daten benötigen.

Abgrenzung

Simplizialkomplexe können abstrakt (kombinatorisch) oder geometrisch sein; sie müssen nicht endlich, rein oder magazinartig sein. Sie schließen Zellanheftungen mit Identifikationen aus, die nicht durch Simplexe darstellbar sind, und umfassen nicht allgemeine CW-Komplexe ohne Triangulation.

Semantische Spannung

Es besteht Spannung zwischen Simplizialkomplexen und verwandten Begriffen wie Delta-Komplexen, CW-Komplexen und Hypergraphen: Jede Darstellung kodiert kombinatorische Topologie mit unterschiedlicher Flexibilität bezüglich Identifikationen und Seitenstruktur; diese Wahl beeinflusst Invarianten und Realisierungen.

Synthese

Ein Simplizialkomplex ist ein kombinatorisches Schema aus Ecken und Simplexen, das unter Seiten abgeschlossen ist und als diskretes Modell der Topologie dient: seine einfache Abschlussregel macht ihn zu einer grundlegenden Verbindung zwischen Kombinatorik und topologischen Invarianten.