La propriété d'une traduction, d'une mise en correspondance ou d'une extension entre systèmes logiques qui garantit que les conséquences dans un système correspondent aux conséquences dans l'autre, de sorte qu'aucune conséquence n'est introduite ou perdue de manière fallacieuse par la traduction.

Principe

Une mise en correspondance est conservatrice des conséquences si, pour toute théorie T et formule φ dans le fragment de langage pertinent, T entraîne φ dans le système source exactement lorsque la théorie traduite entraîne la formule traduite dans le système cible, ou au moins selon la direction spécifiée (préservation ou réflexion).

Démonstration

Exemple : une extension conservatrice d'une théorie ajoute de nouveaux symboles et axiomes sans changer les conséquences dans le langage original ; toute phrase dans la signature initiale prouvable auparavant reste prouvable et aucune nouvelle phrase de la signature initiale ne devient prouvable uniquement à cause de l'extension.

Mauvaise application

Prétendre à la conservation des conséquences alors que la traduction ne préserve que la vérité des formules atomiques ou échoue pour les formules quantifiées ou négatives ; confondre la préservation dans une direction (soundness) avec la conservation totale (équivalence des conséquences).

Conséquence

Lorsque la conservation des conséquences tient, les traductions entre systèmes sont fiables pour le raisonnement : preuves et réfutations dans le source peuvent être transférées vers le cible sans introduire des théorèmes fallacieux dans le langage source, permettant un développement modulaire et des extensions de théorie sûres.

Inversion

L'échec de la conservation des conséquences se traduit par l'ajout ou la perte d'entraînements : une traduction peut introduire de nouvelles conséquences (extension non conforme) ou perdre des conséquences (traduction incomplète), remettant en cause l'équivalence des théories entre systèmes.

Limite

La conservation des conséquences est souvent relative à un fragment du langage (p. ex. phrases dans une signature partagée, formules existentielles ou dérivabilité syntaxique) et peut ne pas tenir uniformément pour toutes les classes de formules, modèles ou systèmes de preuve.

Tension sémantique

Une tension existe entre la préservation de la vérité, la préservation de la démontrabilité et la conservation des conséquences : une traduction peut préserver la satisfiabilité ou les modèles sans préserver la dérivabilité, ou préserver une classe de formules mais pas une autre, d'où l'importance de critères précis.

Synthèse

La conservation des conséquences formalise l'idée qu'une traduction ou une extension ne modifie pas le contenu inférentiel d'une théorie pour les formules considérées ; elle fournit le critère pour une traduction sûre, une extension conservative et une comparaison fidèle de systèmes logiques.