La propiedad de una traducción, mapeo o extensión entre sistemas lógicos que garantiza que las consecuencias (entailments) en un sistema correspondan a consecuencias en el otro, de modo que no se añadan ni se pierdan consecuencias de forma espuria bajo la traducción.

Principio

Un mapeo es conservador de consecuencias si, para toda teoría T y fórmula φ en el fragmento de lenguaje pertinente, T implica φ en el sistema origen exactamente cuando la teoría traducida implica la fórmula traducida en el sistema destino, o al menos en la dirección especificada (preservación o reflexión).

Demostración

Ejemplo: una extensión conservadora de una teoría añade nuevos símbolos y axiomas pero no cambia las consecuencias en el lenguaje original; cualquier enunciado en la firma original que fuera demostrable antes sigue siéndolo y no se vuelve demostrable ningún enunciado nuevo de la firma original únicamente por la extensión.

Aplicación incorrecta

Afirmar conservación de consecuencias cuando el mapeo solo preserva la verdad de fórmulas atómicas o falla para fórmulas cuantificadas o negadas; confundir la preservación en una dirección (sonibilidad) con la conservación total (equivalencia de consecuencias).

Consecuencia

Cuando se cumple la conservación de consecuencias, las traducciones entre sistemas son fiables para razonar: pruebas y refutaciones en el origen pueden transportarse al destino sin introducir teoremas espurios en el lenguaje origen, lo que permite desarrollo modular y extensiones seguras de teorías.

Inversión

La ausencia de conservación de consecuencias implica la adición o pérdida de consecuencias: una traducción puede introducir nuevas consecuencias (extensión no segura) o perder consecuencias (traducción incompleta), socavando la equivalencia de teorías entre sistemas.

Límite

La conservación de consecuencias suele ser relativa a un fragmento del lenguaje (p. ej., oraciones en una firma compartida, fórmulas existenciales o derivabilidad sintáctica) y puede no sostenerse uniformemente para todas las clases de fórmulas, modelos o sistemas de prueba.

Tensión semántica

Hay tensión entre preservación de verdad, preservación de demostrabilidad y conservación de consecuencias: un mapeo puede preservar satisfacibilidad o modelos sin preservar derivabilidad, o preservar una clase de fórmulas pero no otra, por lo que importan criterios precisos.

Síntesis

La conservación de consecuencias formaliza la idea de que una traducción o extensión no altera el contenido inferencial de una teoría para las fórmulas de interés; proporciona el criterio para traducciones seguras, extensiones conservadoras y comparación fiel de sistemas lógicos.