Une relation bidirectionnelle entre langages ou systèmes formels indiquant qu’il existe des traductions dans les deux sens qui préservent des propriétés sémantiques ou syntaxiques spécifiées, de sorte que les formules et leurs sens puissent être transportés aller‑retour à la notion d’équivalence choisie.

Principe

L’intertraductibilité exige une paire de traductions T : L1→L2 et S : L2→L1 telles que les compositions S∘T et T∘S retrouve les expressions d’origine à une équivalence convenue (égalité, équivalence logique, équivalence démontrable) et préservent les propriétés ciblées (vérité, dérivabilité, satisfaisabilité).

Démonstration

Deux présentations d’une même théorie (par exemple deux variantes syntaxiques de l’arithmétique ou deux présentations équationnelles d’une algèbre universelle) sont intertraductibles : il existe des traductions mécaniques qui mappent axiomes et théorèmes dans les deux sens en préservant la démontrabilité et la théorématicité jusqu’à renommage ou expansion définitionnelle.

Mauvaise application

Supposer que l’intertraductibilité entraîne l’identité de toutes les méta‑propriétés ; par exemple croire que des traductions mutuelles garantissent la même complexité de preuve, le même comportement de décidabilité, ou que toute nuance sémantique est préservée sans réserve.

Conséquence

L’intertraductibilité établit une forme forte d’équivalence : les langages peuvent être utilisés de manière interchangeable pour spécification et démonstration, les résultats se transportent dans les deux sens, et des propriétés métathéoriques (lorsque les traductions les préservent) peuvent être transférées entre systèmes.

Inversion

L’absence d’intertraductibilité signifie qu’une inclusion unidirectionnelle existe sans mappage inverse fidèle ; cette asymétrie signale une différence réelle dans les ressources expressives ou structurelles entre les systèmes.

Limite

Dépend des propriétés qui doivent être préservées et de la notion d’équivalence acceptée ; l’intertraductibilité peut tenir syntaxiquement mais échouer sémantiquement, ou inversement, et peut exclure les traductions non effectives ou reposant sur des ressources externes ou non constructives.

Tension sémantique

Concurrence avec la notion plus faible d’expressivité relative : deux langages peuvent être mutuellement interprétables tout en différant en complexité, concision ou commodité d’expression, créant une tension entre équivalence formelle et différence pragmatique.

Synthèse

L’intertraductibilité est la mutuelle exprimabilité réalisée par des traductions effectives aller et retour qui préservent les traits sémantiques ou syntaxiques convenus, formant une classe d’équivalence bidirectionnelle de langages tout en laissant ouverts des écarts secondaires comme la complexité ou la brièveté.