Une approche qui interprète une catégorie syntaxique (présentant une théorie ou un langage) comme une classe d'objets dans une catégorie sémantique au moyen de foncteurs qui préservent la structure syntaxique requise par la théorie ; les modèles sont les foncteurs qui réalisent les opérations syntaxiques comme des applications sémantiques qui conservent la structure.

Principe

Coder les règles de formation syntaxique et les dispositifs d'inférence comme une structure catégorique, et définir la sémantique par des foncteurs préservant cette structure de la catégorie syntaxique vers une catégorie sémantique choisie, de sorte que la composition et les opérations commutent avec l'interprétation.

Démonstration

Pour une théorie équationnelle présentée par des opérations et des équations, on construit une petite catégorie dont les objets sont des contextes finis et dont les flèches sont des classes d'équivalence de termes ; un modèle est un foncteur préservant les produits de cette catégorie vers la catégorie des ensembles, assignant à chaque sorte un ensemble et à chaque opération une fonction respectant les équations.

Mauvaise application

Prendre toute affectation des symboles syntaxiques à des valeurs sémantiques comme une sémantique fonctorielle sans vérifier que l'affectation préserve la structure catégorique (p. ex. produits, identités, composition), ce qui conduit à violer des équations ou des règles compositionnelles.

Conséquence

Lorsqu'elle est correctement appliquée, la sémantique fonctorielle fournit des modèles compositionnels et modulaires des théories, réduit la construction de modèles à des opérations catégoriques universelles, et fait correspondre les transformations entre modèles à des morphismes catégoriques naturels.

Inversion

Au lieu d'interpréter la syntaxe comme objets d'une catégorie sémantique, inverser l'application en demandant quelles présentations syntaxiques sont engendrées par des structures sémantiques données ; ceci met l'accent sur la génération de la syntaxe par la sémantique plutôt que sur l'interprétation de la syntaxe.

Limite

S'applique lorsque la syntaxe peut être organisée en une catégorie dotée des caractéristiques structurelles à préserver (produits finis, structure monoïdale, etc.) ; exclut les descriptions sémantiques qui ne peuvent pas s'exprimer par des foncteurs (p. ex. une sémantique purement statistique sans structure compositionnelle) ou les cas où aucune catégorie syntaxique fidèle n'existe.

Tension sémantique

Entre en tension avec les approches sémantiques classiques qui présentent les modèles comme des ensembles d'assignations de vérité plutôt que comme des foncteurs ; la tension oppose le traitement des modèles comme structures ensemblistes et comme applications préservant la structure issues d'un objet syntaxique canonique.

Synthèse

La sémantique fonctorielle prescrit catégoriquement : empaqueter une théorie en une catégorie syntaxique et réaliser ses modèles comme des foncteurs vers une catégorie sémantique de sorte que la composition syntaxique et les contraintes structurelles soient exactement reflétées par l'image fonctorielle.