Un enfoque que interpreta una categoría sintáctica (que presenta una teoría o lenguaje) como una clase de objetos en una categoría semántica mediante funtores que preservan la estructura sintáctica exigida por la teoría; los modelos son los funtores que realizan las operaciones sintácticas como mapeos semánticos que conservan la estructura.

Principio

Codificar las reglas de formación sintáctica y los dispositivos de inferencia como estructura categórica, y dar la semántica mediante funtores que preservan esa estructura desde la categoría sintáctica hacia una categoría semántica escogida, de modo que la composicionalidad y las operaciones conmutan con la interpretación.

Demostración

Para una teoría ecuacional presentada por operaciones y ecuaciones se construye una pequeña categoría cuyos objetos son contextos finitos y cuyas flechas son clases de equivalencia de términos; un modelo es un funtor preservador de productos desde esa categoría hacia la categoría de conjuntos que asigna a cada tipo un conjunto y a cada operación una función que respeta las ecuaciones.

Aplicación incorrecta

Tratar cualquier asignación de símbolos sintácticos a valores semánticos como sémantica functorial sin comprobar que la asignación preserva la estructura categórica (p. ej., productos, identidades, composición), con lo que se incumplen ecuaciones o reglas composicionales.

Consecuencia

Aplicada correctamente, la semántica functorial produce modelos composicionales y modulares de teorías, reduce la construcción de modelos a operaciones categóricas universales y hace que las transformaciones entre modelos correspondan a morfismos categóricos naturales.

Inversión

En vez de interpretar la sintaxis como objetos en una categoría semántica, invertir la dirección y preguntar qué presentaciones sintácticas son inducidas por estructuras semánticas dadas; esto enfatiza la generación de sintaxis por la semántica más que la interpretación de la sintaxis.

Límite

Se aplica cuando la sintaxis puede organizarse como una categoría con las características estructurales a preservar (productos finitos, estructura monoide, etc.); excluye descripciones semánticas que no puedan expresarse mediante funtores (p. ej., semántica puramente estadística sin estructura composicional) o casos donde no exista una categoría sintáctica fiel.

Tensión semántica

Compite con las aproximaciones model-theoretic que presentan los modelos como conjuntos de asignaciones de verdad en lugar de funtores; la tensión es entre tratar los modelos como estructuras basadas en conjuntos y tratarlos como mapeos que preservan la estructura desde un objeto sintáctico canónico.

Síntesis

La semántica functorial es la prescripción categórica: empaquetar una teoría como una categoría sintáctica y realizar sus modelos como funtores hacia una categoría semántica de modo que la composición sintáctica y las restricciones estructurales queden exactamente reflejadas por la imagen functorial.