Pour une structure M et un sous‑ensemble A, la clôture définissable dcl(A) est l'ensemble des éléments de M qui sont spécifiés de manière unique (dans M) par une formule du premier ordre avec paramètres dans A ; équivalemment, ce sont les éléments fixes par tout automorphisme de M qui fixe A point par point.

Principe

La dépendance définissable est captée par la définissabilité et l'unicité au premier ordre : un élément appartient à dcl(A) exactement lorsque sa propriété peut s'exprimer de sorte qu'aucun autre élément distinct ne satisfait la même formule définissante avec paramètres en A.

Démonstration

Dans un corps algébriquement clos, la clôture définissable de l'ensemble vide est le corps premier (par exemple Q en caractéristique 0) car ces éléments sont définissables sans paramètres ; en revanche, la clôture algébrique contient des conjugués multiples alors que dcl exige l'unicité.

Mauvaise application

Confondre la clôture définissable avec la clôture algébrique (acl) ou avec la clôture par conséquence syntaxique ; par exemple, supposer que tout élément algébrique appartient à dcl(A) alors qu'il peut avoir plusieurs A‑conjugués et ne se trouver que dans acl(A).

Conséquence

Identifier correctement dcl(A) donne un contrôle sur Aut(M/A), les paramètres canoniques et la définissabilité interne des objets ; c'est central pour des arguments sur l'élimination des imaginaires et sur les éléments « nommés » par A.

Inversion

La réversion oppose dcl à acl : là où dcl exige une spécification unique, la notion contraire (acl) permet un nombre fini de réalisations ; passer de dcl à acl affaiblit l'unicité et admet des orbites finies sous les automorphismes fixant A.

Limite

Dépend du langage et de l'expressibilité au premier ordre ; dcl peut diminuer ou augmenter lors d'enrichissements du langage et ne tient pas automatiquement compte des imaginaires sauf si l'on travaille dans M^eq ; il exclut les éléments définissables seulement à choix finis.

Tension sémantique

Tension entre la définissabilité (unicité syntaxique) et les notions algébriques de dépendance : dcl est plus fin et plus rigide que acl, et des frictions apparaissent lorsque les intuitions modèle‑théoriques et algébriques de « déterminé par A » divergent.

Synthèse

La clôture définissable de A est l'ensemble des éléments de la structure qui sont déterminés de façon unique par A via des formules du premier ordre : les éléments invariants sous tous les automorphismes fixant A, donnant une notion nette de dépendance définissable.