Dada una estructura M y un subconjunto A, el cierre definible dcl(A) es el conjunto de todos los elementos de M que quedan especificados de forma única (en M) por alguna fórmula de primer orden con parámetros en A; equivale a los elementos fijados por todo automorfismo de M que fija A punto por punto.

Principio

La dependencia definible se captura por definibilidad y unicidad en primer orden: un elemento pertenece a dcl(A) exactamente cuando su propiedad puede expresarse de manera que ningún otro elemento distinto satisface la misma fórmula definitoria con parámetros en A.

Demostración

En un cuerpo algebraicamente cerrado, el cierre definible del conjunto vacío es el cuerpo primo (p. ej. Q en característica 0) porque esos elementos son definibles sin parámetros; en contraste, el cierre algebraico contiene conjugados múltiples mientras que dcl exige unicidad.

Aplicación incorrecta

Confundir dcl con el cierre algebraico (acl) o con el cierre por consecuencia sintáctica; por ejemplo, asumir que todo elemento algebraico pertenece a dcl(A) cuando puede tener varios A‑conjugados y por tanto solo estar en acl(A).

Consecuencia

Identificar correctamente dcl(A) ofrece control sobre Aut(M/A), parámetros canónicos y la definibilidad interna de objetos; es central en argumentos sobre eliminación de imaginarios y sobre qué elementos son 'nombrados' por A.

Inversión

La inversión contrasta dcl con acl: donde dcl exige especificación única, la noción contraria (acl) permite un número finito de realizaciones; pasar de dcl a acl debilita la unicidad y admite órbitas finitas bajo automorfismos que fijan A.

Límite

Depende del lenguaje y de la expresibilidad en primer orden; dcl puede cambiar con expansiones del lenguaje y no contempla automáticamente imaginarios a menos que se trabaje en M^eq; excluye elementos definibles solo hasta elecciones finitas.

Tensión semántica

Hay tensión entre definibilidad (unicidad sintáctica) y nociones algebraicas de dependencia: dcl es más fino y rígido que acl, y surge fricción cuando las intuiciones modelo‑teóricas y algebraicas de 'determinado por A' divergen.

Síntesis

El cierre definible de A consiste en aquellos elementos de la estructura que están determinados de forma única por A mediante fórmulas de primer orden: los elementos invariantes bajo todos los automorfismos que fijan A, proporcionando una noción precisa de dependencia definible.