La loi selon laquelle l'application d'un même opérateur idempotent à des opérandes identiques donne l'opérande lui-même : pour un connecteur ⊗ idempotent, A ⊗ A = A (exemples : A ∧ A = A, A ∨ A = A ; de même en théorie des ensembles S ∪ S = S).

Principe

La répétition d'un opérande sous le même connecteur idempotent n'a pas d'effet supplémentaire au-delà d'une occurrence unique.

Démonstration

En théorie des ensembles, l'union d'un ensemble avec lui-même est l'ensemble : S ∪ S = S. En algèbre de Boole, répéter A sous ∧ ou ∨ ne change pas la valeur de vérité par rapport à A seul.

Mauvaise application

Considérer des opérations non idempotentes comme idempotentes — par ex. supposer que l'addition numérique vérifie A + A = A — entraîne de fausses simplifications et une perte d'information.

Conséquence

Permet d'éliminer des littéraux dupliqués dans des expressions logiques, réduit la redondance dans des formules et circuits, et soutient des formes canoniques où les doublons sont effacés.

Inversion

Non-idempotence : opérations pour lesquelles la répétition change le résultat (ex. addition numérique A + A = 2A, ou XOR logique A ⊕ A = 0, ce qui n'est pas égal à A).

Limite

S'applique uniquement aux opérateurs démontrés idempotents dans l'algèbre considérée ; l'idempotence dépend de l'opérateur et du contexte et ne s'étend pas aux opérateurs composites ou mixtes sans preuve.

Tension sémantique

Tension avec les intuitions multiplicatives — l'idempotence effondre la répétition alors que de nombreux systèmes algébriques conservent la multiplicité ou la fréquence, de sorte que les systèmes qui préservent l'information rejettent souvent l'idempotence.

Synthèse

La loi idempotente indique quand la duplication d'un même opérande est sémantiquement redondante pour un opérateur donné, autorisant la suppression des doublons et des représentations épurées tout en distinguant les contextes qui conservent la multiplicité.