L'ensemble des cardinalités finies des structures qui réalisent une théorie du premier ordre ; considéré comme un invariant de la théorie, il enregistre quelles tailles finies admettent des modèles de la théorie.

Principe

Le spectre de modèles capture l'information d'existence au niveau des cardinalités : les contraintes combinatoires de la théorie déterminent quelles tailles finies sont possibles et lesquelles sont exclues, et ce motif est stable sous équivalence élémentaire dans le domaine fini considéré.

Démonstration

Exemple : une théorie axiomatisant « il existe exactement n éléments distincts vérifiant la propriété P » a pour spectre {n} ; d'autres théories ont pour spectre l'ensemble des naturels, tous les entiers suffisamment grands ou des progressions arithmétiques clairsemées selon le contenu combinatoire des axiomes.

Mauvaise application

Confondre le spectre de modèles avec l'ensemble des types d'isomorphisme des modèles finis, ou utiliser les données du spectre pour déduire des propriétés sur les modèles infinis ou la catégoricité sans justification supplémentaire.

Conséquence

Connaître le spectre d'une théorie éclaire des questions de décidabilité et de classification en théorie des modèles finis et en complexité descriptive, et guide les constructions ou preuves d'impossibilité de modèles de tailles particulières.

Inversion

Considérer le complément du spectre — l'ensemble des cardinalités finies que la théorie interdit — met l'accent sur les obstructions et les impossibilités combinatoires plutôt que sur les réalisations.

Limite

Par définition, le spectre de modèles concerne uniquement les cardinalités finies ; il exclut les cardinalités infinies et n'enregistre ni les multiplicités, ni les détails d'isomorphisme, ni la richesse structurelle au-delà de la taille.

Tension sémantique

Le terme « spectre » apparaît aussi dans d'autres contextes (spectres d'opérateurs, spectre d'une phrase en théorie de la complexité) ; ici il désigne spécifiquement l'ensemble des cardinalités des modèles finis, ce qui peut prêter à confusion avec des invariants proches mais distincts.

Synthèse

Le spectre de modèles est l'invariant qui associe à une théorie du premier ordre la collection des tailles finies pour lesquelles la théorie a un modèle ; il condense le comportement d'existence fini de la théorie en un ensemble de cardinalités utile pour l'analyse combinatoire et la décidabilité.